Wahrscheinlichkeit und der Satz von Bayes
Gemeinsame und bedingte Wahrscheinlichkeit, Unabhängigkeit und der Satz von Bayes anhand realer KI-Beispiele.
Wahrscheinlichkeit und der Satz von Bayes ist eine kostenlose Learn AI with Python-Lektion auf CoddyKit. Dies ist Lektion 2 von 4. Du kannst die komplette Lektion unten kostenlos lesen – dann übst du sie direkt im Browser mit einem integrierten Code-Editor und einem KI-Tutor rund um die Uhr. Sie ist Teil des Learn AI with Python-Lernpfads, und dein Fortschritt wird über Web und CoddyKit-App synchronisiert. Der Learn AI with Python-Kurs umfasst insgesamt 4 Lektionen.
Grundlagen der Wahrscheinlichkeit
Eine Wahrscheinlichkeit ist eine Zahl zwischen 0 und 1, die angibt, wie wahrscheinlich ein Ereignis ist. Die bedingte Wahrscheinlichkeit P(A|B) gibt die Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung an, dass B eingetreten ist.
Bedingte Wahrscheinlichkeit
P(A|B) = P(A and B) / P(B). Durch die Bedingung wird der Ergebnisraum auf die Fälle eingeschränkt, in denen B wahr ist.
p_a_and_b = 0.12
p_b = 0.30
print(p_a_and_b / p_b) # P(A | B) = 0.4Satz von Bayes
Der Satz von Bayes kehrt eine bedingte Wahrscheinlichkeit um: P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B). Er aktualisiert die vorherige Annahme P(A) zu einer nachträglichen Wahrscheinlichkeit, nachdem die Evidenz B beobachtet wurde.
Die Bestandteile benennen
A-priori-Wahrscheinlichkeit P(A): Annahme vor der Evidenz. Likelihood P(B|A): wie gut A die Evidenz erklärt. Posterior-Wahrscheinlichkeit P(A|B): aktualisierte Annahme. Evidenz P(B): eine normalisierende Gesamtsumme.
Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit
Der Nenner P(B) wird durch Summieren über alle Fälle ermittelt: P(B) = P(B|A)*P(A) + P(B|not A)*P(not A). Dadurch wird die Evidenz in bekannte Bestandteile zerlegt.
p_a = 0.01 # prior
p_b_given_a = 0.99 # likelihood
p_b_given_not_a = 0.05
p_not_a = 1 - p_a
p_b = p_b_given_a * p_a + p_b_given_not_a * p_not_a
print(p_b)Beispiel: Medizinischer Test
Eine Krankheit betrifft 1 Prozent der Menschen. Ein Test hat eine Sensitivität von 99 Prozent, aber eine Falsch-Positiv-Rate von 5 Prozent. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sie BEI einem positiven Test krank sind?
posterior = (p_b_given_a * p_a) / p_b
print(round(posterior, 3)) # about 0.167Das überraschende Ergebnis
Trotz eines zu 99 Prozent genauen Tests bedeutet ein positives Ergebnis nur eine Wahrscheinlichkeit von 17 Prozent für eine Erkrankung. Die seltene Basisrate (A-priori-Wahrscheinlichkeit von 1 Prozent) ist ausschlaggebend – der klassische Basisratenfehler.
Unabhängigkeit
Zwei Ereignisse sind unabhängig, wenn P(A|B) = P(A) gilt. Die Beobachtung von B liefert dann keinerlei Information über A. In diesem Fall gilt P(A and B) = P(A) * P(B).
p_a, p_b = 0.5, 0.5
print(p_a * p_b) # 0.25 if independent (e.g. two fair coins)Das Monty-Hall-Problem
Hinter drei Türen befindet sich ein Auto. Sie wählen eine Tür; der Moderator öffnet eine andere Tür und zeigt eine Ziege. Anschließend bietet er Ihnen an zu wechseln. Entgegen der Intuition gewinnen Sie durch Wechseln in 2/3 der Fälle.
Monty Hall simulieren
Eine Simulation bestätigt die Mathematik. Durch Wechseln gewinnen Sie immer dann, wenn Ihre erste Wahl falsch war – und das geschieht in 2 von 3 Fällen.
import random
def trial(switch):
car = random.randint(0, 2)
pick = random.randint(0, 2)
if switch:
return pick != car # switching wins if first pick was wrong
return pick == car
wins = sum(trial(True) for _ in range(100000))
print(wins / 100000) # about 0.667Warum Wechseln gewinnt
Ihre erste Wahl ist in 1/3 der Fälle richtig. Durch das Öffnen des Moderators konzentrieren sich die übrigen 2/3 auf die einzige noch geschlossene Tür. Durch Wechseln nutzen Sie daher diese Wahrscheinlichkeit von 2/3.
Kurzer Test
Testen Sie Ihr Wissen über Wahrscheinlichkeitsrechnung.
Zusammenfassung
Grundlagen der Wahrscheinlichkeit:
- Bedingte Wahrscheinlichkeit:
P(A|B) = P(A and B)/P(B) - Satz von Bayes:
P(A|B) = P(B|A)P(A)/P(B)aktualisiert die A-priori-Wahrscheinlichkeit zur Posterior-Wahrscheinlichkeit - Der Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit zerlegt P(B)
- Basisratenfehler: Seltene Bedingungen führen trotz genauer Tests zu niedrigen Posterior-Wahrscheinlichkeiten
- Monty Hall: Durch Wechseln gewinnen Sie in 2/3 der Fälle
Häufig gestellte Fragen
Ist die Lektion „Wahrscheinlichkeit und der Satz von Bayes“ kostenlos?
Ja — der vollständige Text von „Wahrscheinlichkeit und der Satz von Bayes“ ist hier im Web kostenlos zu lesen. Um sie interaktiv zu üben (integrierter Code-Editor und 24/7 KI-Tutor) und den Rest des Learn AI with Python-Kurses freizuschalten, upgrade auf CoddyKit PRO. Der Learn AI with Python-Kurs umfasst insgesamt 4 Lektionen.
Was lerne ich in „Wahrscheinlichkeit und der Satz von Bayes“?
Gemeinsame und bedingte Wahrscheinlichkeit, Unabhängigkeit und der Satz von Bayes anhand realer KI-Beispiele. Du übst Learn AI with Python mit praktischem Code, den du direkt im Browser ausführst, und ein 24/7 KI-Tutor beantwortet deine Fragen während du die Lektion bearbeitest.
Brauche ich Erfahrung, um Learn AI with Python zu starten?
Keine Vorkenntnisse erforderlich. Learn AI with Python auf CoddyKit ist für Anfänger bis fortgeschrittene Lernende strukturiert, sodass du hier starten oder von Anfang an beginnen und in deinem eigenen Tempo voranschreiten kannst. Dies ist Lektion 2 von 4.
Wie lange dauert die Lektion „Wahrscheinlichkeit und der Satz von Bayes“?
Die meisten CoddyKit-Lektionen dauern etwa 5–10 Minuten. Jede ist kompakt und interaktiv, sodass du stetig Fortschritte machst und genau dort weitermachst, wo du aufgehört hast – im Web und in der App.
Kann ich in dieser Learn AI with Python-Lektion Code schreiben und ausführen?
Ja. Jede Learn AI with Python-Lektion enthält einen integrierten Code-Editor, sodass du echten Code direkt in deinem Browser schreibst und ausführst und sofort KI-Feedback erhältst — ohne lokale Einrichtung erforderlich.
Alle Lektionen in diesem Kurs
- Deskriptive Statistik und Verteilungen
- Wahrscheinlichkeit und der Satz von Bayes
- Hypothesentests
- Korrelation und Kovarianz