CKKS voor benaderende rekenkunde en ML

BGV/BFV werken met gehele getallen (exacte rekenkunde). Bij machinaal leren worden drijvende-kommagetallen gebruikt (benaderende rekenkunde). CKKS (Cheon-Kim-Kim-Song, 2017) codeert reële en complexe getallen en maakt gecontroleerd precisieverlies mogelijk — ideaal voor ML-inferentie en gegevensanalyse.

CKKS behandelt de ruis als onderdeel van de coderingsprecisie. In plaats van ruis te elimineren (zoals bij foutcorrectie), beschouwt CKKS het resultaat als een benadering met gegarandeerde precisiegrenzen. Deze afweging maakt veel efficiëntere HE mogelijk voor berekeningen met continue waarden.

CKKS codeert een vector van complexe getallen als een veelterm: een vector (z_0, ..., z_{n/2-1}) wordt via de inverse FFT afgebeeld op een veelterm in R. Schaalfactor Δ (bijvoorbeeld 2^40) zet drijvende-kommagetallen om naar gehele getallen. n/2 reële slots per cijfertekst.

Na een vermenigvuldiging verdubbelt de schaalfactor: Δ^2. CKKS voert een herschalingsbewerking uit: deel door Δ om één schaalfactor te herstellen. Hierdoor wordt ook het modulusniveau van de cijfertekst verlaagd (zoals bij moduluswisseling in BGV), zodat de cijfertekst beheersbaar blijft.

Elke vermenigvuldiging verbruikt één modulusniveau en vermindert de precisie met ongeveer log2(Δ) bits. Voor een circuit met diepte L en schaalfactor Δ = 2^40 is het totale precisieverlies ongeveer L*40 bits. Kies een beginmodulus Q die groot genoeg is voor dit precisiebudget.

Lineaire lagen (matrix-vectorvermenigvuldiging): efficiënt — rotatie en accumulatie. Activatiefuncties (ReLU, sigmoid): een polynomiale benadering is vereist. ReLU: benader met een Chebyshev-polynoom van graad 7. Nauwkeurigheidsverlies: ongeveer 0,1-1% ten opzichte van inferentie op platte tekst.

Het ziekenhuis versleutelt patiëntgegevens met zijn openbare CKKS-sleutel. De cloud voert een diagnostisch neuraal netwerk uit op de versleutelde gegevens met CKKS-bewerkingen. De cloud stuurt de versleutelde voorspelling terug. Het ziekenhuis ontsleutelt die met de privésleutel. De cloud ziet nooit de patiëntgegevens of de onversleutelde diagnose.

Aanbeveling voor HEAAN/OpenFHE: n=2^15 (32768) voor diepe ML-circuits. Modulusketen: beginwaarde Q ≈ 2^1500 voor 30 vermenigvuldigingsniveaus bij Δ=2^50. Beveiliging: 128 bits, ervan uitgaande dat CKKS met deze parameters even moeilijk te kraken is als RLWE. Geheugen: cijfertekst ~1 MB.

CKKS-bootstrapping (Cheon et al., 2018) evalueert de modulaire reductie homomorf om de cijfertekst te vernieuwen. Complexiteit: de sinusfunctie evalueren (via een polynomiale benadering) over complexe getallen. Maakt onbeperkte circuitdiepte mogelijk met ongeveer 30 seconden per bootstrapping.

BFV: exacte gehele getallen, platte teksten met gehele getallen, geen precisieverlies. CKKS: benaderende reële/complexe getallen, platte teksten met drijvende-kommagetallen, precisie neemt af met de diepte. Gebruik BFV voor: databases, query's en exacte berekeningen. Gebruik CKKS voor: ML, statistiek en wetenschappelijke berekeningen.

HEAAN (oorspronkelijke CKKS, Seoul National University). Microsoft SEAL (CKKS + BFV). OpenFHE (CKKS + BGV + BFV). Concrete-ML (Zama.ai, biedt een laag rond OpenFHE voor modellen van scikit-learn en PyTorch). TF-HE (TensorFlow + experimenten met HE-integratie).

CKKS ondersteunt benaderende rekenkunde met reële getallen, ideaal voor ML-inferentie en statistiek op versleutelde gegevens. Herschalen beheert de schaalfactor; polynomiale benaderingen vervangen activatiefuncties. Hierna: postkwantumcryptografie — de algoritmen van Shor en Grover.