Yaklaşık Aritmetik ve Makine Öğrenmesi için CKKS

BGV/BFV tamsayılar üzerinde çalışır (tam aritmetik). Makine öğrenimi, kayan noktalı sayıları kullanır (yaklaşık aritmetik). CKKS (Cheon-Kim-Kim-Song, 2017), gerçek ve karmaşık sayıları kodlar ve kontrollü hassasiyet kaybına izin verir — makine öğrenimi çıkarımı ve veri analizleri için idealdir.

CKKS, gürültüyü kodlama hassasiyetinin bir parçası olarak ele alır. Gürültüyü ortadan kaldırmak (hata düzeltmek) yerine CKKS, sonucu garanti edilen hassasiyet sınırlarına sahip bir yaklaşık değer olarak görür. Bu ödünleşim, sürekli değerli hesaplamalar için çok daha verimli HE sağlar.

CKKS, karmaşık sayılardan oluşan bir vektörü polinom olarak kodlar: (z_0, ..., z_{n/2-1}) vektörü, ters FFT aracılığıyla R içindeki bir polinoma dönüştürülür. Ölçekleme faktörü Δ (örneğin 2^40), kayan noktalı değerleri tamsayılara dönüştürür. Her şifreli metinde n/2 gerçek yuva bulunur.

Çarpmadan sonra ölçekleme faktörü iki katına çıkar: Δ^2. CKKS, yeniden ölçekleme işlemini sunar: tekli ölçeklemeyi geri yüklemek için Δ'ya böler. Bu işlem ayrıca şifreli metin modül düzeyini azaltır (BGV'deki modül değiştirmeye benzer) ve şifreli metni yönetilebilir durumda tutar.

Her çarpma bir modül seviyesini tüketir ve hassasiyeti yaklaşık log2(Δ) bit azaltır. Δ = 2^40 ölçekleme faktörüne sahip L derinliğindeki bir devre için toplam hassasiyet kaybı yaklaşık L*40 bittir. Bu hassasiyet bütçesini karşılamak için başlangıç modülü Q'yu yeterince büyük seçin.

Doğrusal katmanlar (matris-vektör çarpımı): verimlidir — döndürme ve biriktirme. Etkinleştirme işlevleri (ReLU, sigmoid): polinom yaklaşımı gerektirir. ReLU: derece-7 Chebyshev polinomu ile yaklaşık olarak hesaplanır. Doğruluk kaybı: açık metin çıkarımına kıyasla yaklaşık %0,1-1.

Hastane, hasta verilerini kendi CKKS açık anahtarıyla şifreler. Bulut, CKKS işlemlerini kullanarak şifrelenmiş veriler üzerinde tanısal bir sinir ağı çalıştırır. Şifrelenmiş tahmini geri gönderir. Hastane, özel anahtarıyla şifreyi çözer. Bulut, hasta verilerini veya açık tanıyı hiçbir zaman görmez.

HEAAN/OpenFHE önerisi: derin makine öğrenimi devreleri için n=2^15 (32768). Modül zinciri: Δ=2^50'de 30 çarpma seviyesi için başlangıç Q ≈ 2^1500. Güvenlik: bu parametrelerle CKKS'nin RLWE kadar zor olduğu varsayımıyla 128 bit. Bellek: şifreli metin yaklaşık 1 MB.

CKKS önyüklemesi (Cheon ve diğerleri, 2018), şifreli metni yenilemek için modüler indirgemeyi homomorfik olarak hesaplar. Karmaşıklık: karmaşık sayılar üzerinde sinüs işlevinin (polinom yaklaşımı aracılığıyla) hesaplanması. Önyükleme başına yaklaşık 30 saniye maliyetle sınırsız devre derinliği sağlar.

BFV: tam tamsayılar, tamsayı açık metinleri ve hassasiyet kaybı yok. CKKS: yaklaşık gerçek ve karmaşık sayılar, kayan noktalı açık metinler ve derinlikle azalan hassasiyet. BFV'yi şunlar için kullanın: veritabanları, sorgular ve tam hesaplamalar. CKKS'yi şunlar için kullanın: makine öğrenimi, istatistik ve bilimsel hesaplama.

HEAAN (özgün CKKS, Seoul National University). Microsoft SEAL (CKKS + BFV). OpenFHE (CKKS + BGV + BFV). Concrete-ML (Zama.ai, scikit-learn ve PyTorch modelleri için OpenFHE'yi sarmalar). TF-HE (TensorFlow + HE tümleştirme deneyleri).

Makine öğrenimi çıkarımı için CKKS neden BFV'ye tercih edilir?

CKKS, yaklaşık gerçek sayı aritmetiğini destekler ve şifrelenmiş veriler üzerinde makine öğrenimi çıkarımı ile istatistik için idealdir. Yeniden ölçekleme, ölçekleme faktörünü yönetir; polinom yaklaşımları etkinleştirme işlevlerinin yerini alır. Sırada: kuantum sonrası kriptografi — Shor ve Grover algoritmaları.