CKKS untuk Aritmetika Aproksimasi dan Pembelajaran Mesin

BGV/BFV bekerja pada bilangan bulat (aritmetika eksak). Pembelajaran mesin menggunakan bilangan titik mengambang (aritmetika hampiran). CKKS (Cheon-Kim-Kim-Song, 2017) mengodekan bilangan riil/kompleks dan memungkinkan kehilangan presisi yang terkendali—ideal untuk inferensi pembelajaran mesin dan analitik data.

CKKS menganggap derau sebagai bagian dari presisi pengodean. Alih-alih menghilangkan derau (mengoreksi kesalahan), CKKS memandang hasilnya sebagai aproksimasi dengan batas presisi yang terjamin. Kompromi ini memungkinkan HE yang jauh lebih efisien untuk perhitungan bernilai kontinu.

CKKS mengodekan vektor bilangan kompleks sebagai polinom: vektor (z_0, ..., z_{n/2-1}) dipetakan melalui FFT invers menjadi polinom dalam R. Faktor penskalaan Δ (misalnya, 2^40) memetakan bilangan titik mengambang menjadi bilangan bulat. Tersedia n/2 ruang riil untuk setiap teks sandi.

Setelah perkalian, faktor penskalaan menjadi dua kali lipat: Δ^2. CKKS memperkenalkan operasi penskalaan ulang: membagi dengan Δ untuk mengembalikan penskalaan tunggal. Operasi ini juga mengurangi tingkat modulus teks sandi, seperti pergantian modulus BGV, sehingga teks sandi tetap mudah dikelola.

Setiap perkalian menghabiskan satu tingkat modulus dan mengurangi presisi sekitar ~log2(Δ) bit. Untuk sirkuit dengan kedalaman L dan faktor penskalaan Δ = 2^40, total kehilangan presisi sekitar L*40 bit. Pilih modulus awal Q yang cukup besar untuk menampung anggaran presisi ini.

Lapisan linear (perkalian matriks-vektor): efisien—rotasi dan akumulasi. Fungsi aktivasi (ReLU, sigmoid): diperlukan aproksimasi polinomial. ReLU: didekati dengan polinom Chebyshev berderajat-7. Kehilangan akurasi: sekitar 0.1-1% dibandingkan inferensi pada teks biasa.

Rumah sakit mengenkripsi data pasien dengan kunci publik CKKS miliknya. Komputasi awan menjalankan jaringan saraf diagnostik pada data terenkripsi menggunakan operasi CKKS. Komputasi awan mengembalikan prediksi terenkripsi. Rumah sakit mendekripsinya dengan kunci privat. Komputasi awan tidak pernah melihat data pasien atau diagnosis dalam teks biasa.

Rekomendasi HEAAN/OpenFHE: n=2^15 (32768) untuk sirkuit pembelajaran mesin yang dalam. Rangkaian modulus: Q awal ≈ 2^1500 untuk 30 tingkat perkalian pada Δ=2^50. Keamanan: dengan asumsi CKKS menggunakan parameter ini, pemecahannya sama sulitnya dengan RLWE dan memberikan keamanan 128 bit. Memori: teks sandi sekitar 1 MB.

Penyegaran CKKS (Cheon dkk., 2018) mengevaluasi reduksi modular secara homomorfik untuk menyegarkan teks sandi. Kompleksitasnya berasal dari evaluasi fungsi sinus (melalui aproksimasi polinomial) pada bilangan kompleks. Memungkinkan kedalaman sirkuit tak terbatas dengan biaya sekitar 30 detik untuk setiap penyegaran.

BFV: bilangan bulat eksak, teks biasa bilangan bulat, tanpa kehilangan presisi. CKKS: bilangan riil/kompleks hampiran, teks biasa titik mengambang, presisi menurun seiring kedalaman. Gunakan BFV untuk: basis data, kueri, dan perhitungan eksak. Gunakan CKKS untuk: pembelajaran mesin, statistik, dan komputasi ilmiah.

HEAAN (CKKS asli, Universitas Nasional Seoul). Microsoft SEAL (CKKS + BFV). OpenFHE (CKKS + BGV + BFV). Concrete-ML (Zama.ai, membungkus OpenFHE untuk model scikit-learn dan PyTorch). TF-HE (eksperimen integrasi TensorFlow + HE).

Mengapa CKKS lebih disukai daripada BFV untuk inferensi pembelajaran mesin?

CKKS mendukung aritmetika hampiran pada bilangan riil, ideal untuk inferensi ML dan statistik pada data terenkripsi. Penskalaan ulang mengelola faktor penskalaan; aproksimasi polinomial menggantikan fungsi aktivasi. Berikutnya: kriptografi pascakuantum—algoritma Shor dan Grover.