CKKS para aritmética aproximada y aprendizaje automático

BGV/BFV funcionan con enteros (aritmética exacta). El aprendizaje automático utiliza números de coma flotante (aritmética aproximada). CKKS (Cheon-Kim-Kim-Song, 2017) codifica números reales y complejos, y permite una pérdida de precisión controlada, lo que resulta ideal para la inferencia de ML y el análisis de datos.

CKKS trata el ruido como parte de la precisión de la codificación. En lugar de eliminar el ruido (corrigiendo errores), CKKS considera el resultado una aproximación con límites de precisión garantizados. Esta compensación permite un HE mucho más eficiente para cálculos con valores continuos.

CKKS codifica un vector de números complejos como un polinomio: un vector (z_0, ..., z_{n/2-1}) se transforma mediante la FFT inversa en un polinomio de R. El factor de escala Δ (por ejemplo, 2^40) convierte los valores de coma flotante en enteros. Hay n/2 ranuras reales por texto cifrado.

Después de la multiplicación, el factor de escala se duplica: Δ^2. CKKS introduce una operación de reescalado: divide por Δ para restablecer una única escala. Esto también reduce el nivel del módulo del texto cifrado, como el cambio de módulo de BGV, y mantiene el texto cifrado bajo control.

Cada multiplicación consume un nivel de módulo y reduce la precisión en ~log2(Δ) bits. Para un circuito de profundidad L con un factor de escala Δ = 2^40, la pérdida total de precisión es ≈ L*40 bits. Elija un módulo inicial Q suficientemente grande para cubrir este presupuesto de precisión.

Capas lineales (multiplicación matriz-vector): eficientes, mediante rotación y acumulación. Funciones de activación (ReLU, sigmoid): requieren una aproximación polinómica. ReLU: aproximación mediante un polinomio de Chebyshev de grado 7. Pérdida de precisión: ~0.1-1% frente a la inferencia sobre texto plano.

El hospital cifra los datos del paciente con su clave pública de CKKS. La nube ejecuta una red neuronal de diagnóstico sobre los datos cifrados utilizando operaciones de CKKS. Devuelve la predicción cifrada. El hospital la descifra con la clave privada. La nube nunca ve los datos del paciente ni el diagnóstico en texto plano.

Recomendación de HEAAN/OpenFHE: n=2^15 (32768) para circuitos de ML profundos. Cadena de módulos: Q inicial ≈ 2^1500 para 30 niveles de multiplicación con Δ=2^50. Seguridad: 128 bits, suponiendo que CKKS con estos parámetros es tan difícil como RLWE. Memoria: texto cifrado de ~1 MB.

El bootstrapping de CKKS (Cheon et al., 2018) evalúa homomórficamente la reducción modular para refrescar el texto cifrado. Complejidad: evaluar la función seno (mediante una aproximación polinómica) sobre números complejos. Permite una profundidad de circuito ilimitada, con un coste aproximado de 30 segundos por bootstrapping.

BFV: enteros exactos, textos planos enteros, sin pérdida de precisión. CKKS: números reales/complejos aproximados, textos planos de coma flotante, la precisión disminuye con la profundidad. Utilice BFV para: bases de datos, consultas y cálculos exactos. Utilice CKKS para: ML, estadística y cálculo científico.

HEAAN (CKKS original, Universidad Nacional de Seúl). Microsoft SEAL (CKKS + BFV). OpenFHE (CKKS + BGV + BFV). Concrete-ML (Zama.ai, encapsula OpenFHE para modelos de scikit-learn y PyTorch). TF-HE (experimentos de integración entre TensorFlow y HE).

¿Por qué se prefiere CKKS a BFV para la inferencia de aprendizaje automático?

CKKS admite aritmética aproximada con números reales, ideal para la inferencia de ML y la estadística sobre datos cifrados. El reescalado gestiona el factor de escala; las aproximaciones polinómicas sustituyen a las funciones de activación. Siguiente: criptografía poscuántica: los algoritmos de Shor y Grover.