CKKS pour l’arithmétique approchée et l’apprentissage automatique

BGV/BFV fonctionnent sur des entiers (arithmétique exacte). L'apprentissage automatique utilise des nombres à virgule flottante (arithmétique approchée). CKKS (Cheon-Kim-Kim-Song, 2017) encode des nombres réels et complexes et permet une perte de précision contrôlée — ce qui le rend idéal pour l'inférence en apprentissage automatique et l'analyse de données.

CKKS considère le bruit comme faisant partie de la précision de l'encodage. Au lieu d'éliminer le bruit par correction d'erreurs, CKKS considère le résultat comme une approximation assortie de limites de précision garanties. Ce compromis permet un HE beaucoup plus efficace pour les calculs à valeurs continues.

CKKS encode un vecteur de nombres complexes sous forme de polynôme : un vecteur (z_0, ..., z_{n/2-1}) est transformé par FFT inverse en un polynôme dans R. Le facteur d'échelle Δ (par exemple, 2^40) transforme les nombres à virgule flottante en entiers. n/2 emplacements réels par texte chiffré.

Après une multiplication, le facteur d'échelle double : Δ^2. CKKS introduit une opération de remise à l'échelle : diviser par Δ pour rétablir une échelle simple. Cela réduit également le niveau du module du texte chiffré, comme le changement de module de BGV, et maintient le texte chiffré à une taille raisonnable.

Chaque multiplication consomme un niveau de module et réduit la précision d'environ log2(Δ) bits. Pour un circuit de profondeur L avec un facteur d'échelle Δ = 2^40, la perte totale de précision est d'environ L*40 bits. Choisissez un module initial Q suffisamment grand pour couvrir ce budget de précision.

Couches linéaires (multiplication matrice-vecteur) : efficaces — rotation et accumulation. Fonctions d'activation (ReLU, sigmoïde) : une approximation polynomiale est nécessaire. ReLU : approximation par un polynôme de Chebyshev de degré 7. Perte de précision : environ 0,1 à 1 % par rapport à l'inférence en clair.

L'hôpital chiffre les données du patient avec sa clé publique CKKS. Le nuage exécute un réseau neuronal de diagnostic sur les données chiffrées à l'aide d'opérations CKKS. Il renvoie une prédiction chiffrée. L'hôpital la déchiffre avec sa clé privée. Le nuage ne voit jamais les données du patient ni le diagnostic en clair.

Recommandation de HEAAN/OpenFHE : n=2^15 (32768) pour les circuits d'apprentissage automatique profonds. Chaîne de modules : Q initial ≈ 2^1500 pour 30 niveaux de multiplication avec Δ=2^50. Sécurité : 128 bits, en supposant que CKKS avec ces paramètres est aussi difficile à casser que RLWE. Mémoire : texte chiffré d'environ 1 Mo.

Le rafraîchissement de CKKS (Cheon et al., 2018) évalue homomorphiquement la réduction modulaire afin de réinitialiser le texte chiffré. Complexité : évaluation de la fonction sinus, au moyen d'une approximation polynomiale, sur des nombres complexes. Il permet une profondeur de circuit illimitée, à raison d'environ 30 secondes par rafraîchissement.

BFV : entiers exacts, textes en clair entiers, aucune perte de précision. CKKS : nombres réels ou complexes approchés, textes en clair à virgule flottante, précision qui diminue avec la profondeur. Utilisez BFV pour les bases de données, les requêtes et les calculs exacts. Utilisez CKKS pour l'apprentissage automatique, les statistiques et le calcul scientifique.

HEAAN (CKKS d'origine, Seoul National University). Microsoft SEAL (CKKS + BFV). OpenFHE (CKKS + BGV + BFV). Concrete-ML (Zama.ai, encapsule OpenFHE pour les modèles scikit-learn et PyTorch). TF-HE (expériences d'intégration de TensorFlow et du HE).

CKKS prend en charge l'arithmétique approchée sur les nombres réels, ce qui le rend idéal pour l'inférence en apprentissage automatique et les statistiques sur des données chiffrées. La remise à l'échelle gère le facteur d'échelle ; les approximations polynomiales remplacent les fonctions d'activation. Ensuite : la cryptographie post-quantique — les algorithmes de Shor et de Grover.