CKKS for tilnærmet aritmetikk og maskinlæring

BGV/BFV fungerer over heltall (eksakt aritmetikk). Maskinlæring bruker flyttall (tilnærmet aritmetikk). CKKS (Cheon-Kim-Kim-Song, 2017) koder reelle og komplekse tall og tillater kontrollert presisjonstap — ideelt for ML-inferens og dataanalyse.

CKKS behandler støyen som en del av kodingspresisjonen. I stedet for å eliminere støyen (feilkorrigering) betrakter CKKS resultatet som en tilnærming med garanterte presisjonsgrenser. Denne avveiningen muliggjør langt mer effektiv HE for beregninger med kontinuerlige verdier.

CKKS koder en vektor med komplekse tall som et polynom: en vektor (z_0, ..., z_{n/2-1}) avbildes via invers FFT til et polynom i R. Skaleringsfaktoren Δ (for eksempel 2^40) avbilder flyttall til heltall. n/2 reelle plasser per chiffertekst.

Etter multiplikasjon dobles skaleringsfaktoren: Δ^2. CKKS innfører en reskaleringsoperasjon: del på Δ for å gjenopprette enkel skalering. Dette reduserer også chiffertekstens modulusnivå (på samme måte som modulusbytte i BGV) og holder chifferteksten håndterbar.

Hver multiplikasjon bruker ett modulusnivå og reduserer presisjonen med ~log2(Δ) biter. For en krets med dybde L og skaleringsfaktor Δ = 2^40 er det totale presisjonstapet ≈ L*40 biter. Velg et innledende modulus Q som er stort nok til å romme dette presisjonsbudsjettet.

Lineære lag (matrise-vektor-multiplikasjon): effektivt — roter og akkumuler. Aktiveringsfunksjoner (ReLU, sigmoid): krever polynomisk tilnærming. ReLU: tilnærm med et Chebyshev-polynom av grad 7. Presisjonstap: ~0,1–1 % sammenlignet med inferens i klartekst.

Sykehuset krypterer pasientdata med sin offentlige CKKS-nøkkel. Skyen kjører et diagnostisk nevralt nettverk på de krypterte dataene ved hjelp av CKKS-operasjoner. Returnerer en kryptert prediksjon. Sykehuset dekrypterer med den private nøkkelen. Skyen ser aldri pasientdataene eller diagnosen i klartekst.

HEAAN/OpenFHE-anbefaling: n=2^15 (32768) for dype ML-kretser. Moduluskjede: innledende Q ≈ 2^1500 for 30 multiplikasjonsnivåer ved Δ=2^50. Sikkerhet: 128 biter, under antakelsen om at CKKS med disse parameterne er like vanskelig som RLWE. Minne: chiffertekst ~1 MB.

CKKS-bootstrapping (Cheon et al., 2018) evaluerer modulusreduksjonen homomorft for å fornye chifferteksten. Kompleksitet: evaluering av sinusfunksjonen (via polynomisk tilnærming) over komplekse tall. Muliggjør ubegrenset kretsdybde med omtrent 30 sekunder per bootstrapping.

BFV: eksakte heltall, heltall som klartekst, ingen presisjonstap. CKKS: tilnærmede reelle og komplekse tall, flyttall som klartekst, presisjonen reduseres med dybden. Bruk BFV til: databaser, spørringer og eksakte beregninger. Bruk CKKS til: ML, statistikk og vitenskapelige beregninger.

HEAAN (opprinnelig CKKS, Seoul National University). Microsoft SEAL (CKKS + BFV). OpenFHE (CKKS + BGV + BFV). Concrete-ML (Zama.ai, omslutter OpenFHE for scikit-learn- og PyTorch-modeller). TF-HE (eksperimenter med TensorFlow- og HE-integrasjon).

CKKS støtter tilnærmet aritmetikk med reelle tall, noe som er ideelt for ML-inferens og statistikk på krypterte data. Reskalering håndterer skaleringsfaktoren; polynomiske tilnærminger erstatter aktiveringsfunksjoner. Neste: postkvantekryptografi — Shors og Grovers algoritmer.