0Pricing
Python Academy · Урок

Линейная алгебра с NumPy

Выполняйте умножение матриц, разложения и решайте системы линейных уравнений.

«Линейная алгебра с NumPy» — бесплатный урок Python Academy на CoddyKit. Это урок 4 из 4. Ты можешь прочитать весь урок бесплатно ниже — а потом практиковать его прямо в браузере с встроенным редактором кода и ИИ-репетитором 24/7. Это часть пути обучения Python Academy, и твой прогресс синхронизируется между веб-версией и приложением CoddyKit. Курс Python Academy содержит 4 уроков всего.

np.dot и @

Матричное умножение: используйте np.dot(A, B) или оператор @ (Python 3.5 и новее).

import numpy as np

A = np.array([[1,2],[3,4]])
B = np.array([[5,6],[7,8]])

print(A @ B)
# [[19 22]
#  [43 50]]
print(np.dot(A, B))   # same result

Поэлементное и матричное умножение

* выполняет поэлементное умножение (произведение Адамара). @ выполняет матричное умножение. Никогда не путайте их.

import numpy as np

A = np.array([[1,2],[3,4]])
B = np.array([[2,0],[1,3]])

print(A * B)    # [[ 2  0] [ 3 12]] — element-wise
print(A @ B)    # [[ 4  6] [10 12]] — matrix multiply

Транспонирование

arr.T транспонирует массив (меняет местами строки и столбцы). Для массивов большей размерности используйте np.transpose(arr, axes).

import numpy as np

A = np.array([[1,2,3],[4,5,6]])
print(A.shape)    # (2, 3)
print(A.T.shape)  # (3, 2)
print(A.T)

np.linalg.inv и np.linalg.det

Вычисляйте обратную матрицу и определитель.

import numpy as np

A = np.array([[2.,1.],[1.,3.]])
print(np.linalg.inv(A))
# [[ 0.6 -0.2]
#  [-0.2  0.4]]
print(np.linalg.det(A))   # 5.0

Решение линейных систем

np.linalg.solve(A, b) эффективно решает систему Ax = b с помощью разложения LU.

import numpy as np

# Solve: 2x + y = 5; x + 3y = 10
A = np.array([[2.,1.],[1.,3.]])
b = np.array([5.,10.])
x = np.linalg.solve(A, b)
print(x)   # [1.  3.]   → x=1, y=3

Собственные значения и собственные векторы

np.linalg.eig(A) возвращает собственные значения и собственные векторы. Для симметричных матриц используйте np.linalg.eigh (быстрее и стабильнее).

import numpy as np

A = np.array([[4., 2.], [1., 3.]])
vals, vecs = np.linalg.eig(A)
print("Eigenvalues:", vals)    # [5.  2.]
print("Eigenvectors:\n", vecs)

SVD: сингулярное разложение

np.linalg.svd(A) раскладывает A на U, Sigma и Vt. Используется для снижения размерности (PCA) и вычисления псевдообратных матриц.

import numpy as np

A = np.array([[1,2],[3,4],[5,6]], dtype=float)
U, s, Vt = np.linalg.svd(A, full_matrices=False)
print("Singular values:", s)
# Reconstruct: U @ np.diag(s) @ Vt ≈ A

np.linalg.norm

Вычисляйте нормы векторов и матриц.

import numpy as np

v = np.array([3., 4.])
print(np.linalg.norm(v))           # 5.0  (Euclidean)
print(np.linalg.norm(v, ord=1))    # 7.0  (Manhattan)

A = np.eye(3)
print(np.linalg.norm(A, "fro"))    # 1.732 (Frobenius)

Векторное и внешнее произведения

np.cross(a, b) вычисляет векторное произведение в трёхмерном пространстве. np.outer(a, b) вычисляет внешнее произведение.

import numpy as np

a = np.array([1,0,0])
b = np.array([0,1,0])
print(np.cross(a, b))   # [0 0 1]

print(np.outer([1,2,3], [4,5]))
# [[ 4  5]
#  [ 8 10]
#  [12 15]]

np.linalg.lstsq

Решение методом наименьших квадратов для переопределённых систем (с большим числом уравнений, чем неизвестных).

import numpy as np

# Fit y = ax + b  to noisy data
X = np.column_stack([np.arange(5), np.ones(5)])
y = np.array([1.1, 2.0, 3.1, 3.9, 5.2])

coeffs, _, _, _ = np.linalg.lstsq(X, y, rcond=None)
print(f"slope={coeffs[0]:.2f}, intercept={coeffs[1]:.2f}")

np.einsum

np.einsum выражает любое свёрточное произведение тензоров с помощью обозначений суммирования Эйнштейна — это чрезвычайно гибкий инструмент для сложной линейной алгебры.

import numpy as np

A = np.random.rand(3, 4)
B = np.random.rand(4, 5)

# Matrix multiplication via einsum:
C = np.einsum("ij,jk->ik", A, B)
print(C.shape)   # (3, 5)

# Trace:
M = np.eye(4)
print(np.einsum("ii->", M))   # 4.0

Быстрая проверка

Какой оператор выполняет матричное умножение в NumPy (Python 3.5 и новее)?

Итоги

Используйте @ для матричного умножения, np.linalg.solve для линейных систем, np.linalg.eig для собственных значений и np.linalg.svd для разложения. np.einsum обрабатывает произвольные свёрточные произведения тензоров.

Часто задаваемые вопросы

Урок «Линейная алгебра с NumPy» бесплатный?

Да — полный текст урока «Линейная алгебра с NumPy» бесплатно доступен здесь в веб-версии. Чтобы практиковать его интерактивно (встроенный редактор кода и ИИ-репетитор 24/7) и разблокировать остальной курс Python Academy, подпишись на CoddyKit PRO. Курс Python Academy содержит 4 уроков всего.

Чему я научусь в уроке «Линейная алгебра с NumPy»?

Выполняйте умножение матриц, разложения и решайте системы линейных уравнений. Ты практикуешь Python Academy с помощью реального кода, который запускаешь прямо в браузере, и ИИ-репетитор 24/7 отвечает на твои вопросы во время урока.

Нужен ли мне опыт, чтобы начать Python Academy?

Предыдущий опыт не требуется. Python Academy на CoddyKit структурирован для всех уровней — от новичков до продвинутых, поэтому ты можешь начать отсюда или с самого начала и учиться в своем темпе. Это урок 4 из 4.

Сколько времени занимает урок «Линейная алгебра с NumPy»?

Большинство уроков CoddyKit занимают около 5–10 минут. Каждый из них компактный и интерактивный, поэтому ты постоянно делаешь прогресс и продолжаешь с того же места в веб-версии и приложении.

Можно ли писать и запускать код в этом уроке Python Academy?

Да. Каждый урок Python Academy включает встроенный редактор кода, поэтому ты пишешь и запускаешь реальный код прямо в браузере и получаешь моментальную обратную связь от AI — локальная установка не требуется.

Все уроки этого курса

  1. Массивы NumPy и dtypes
  2. Операции над массивами и broadcasting
  3. Индексация, срезы и расширенная индексация
  4. Линейная алгебра с NumPy
← Назад к Python Academy