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Python Academy · 课时

使用 NumPy 进行线性代数

执行矩阵乘法、矩阵分解并求解线性方程组。

使用 NumPy 进行线性代数 是 CoddyKit 上的免费 Python Academy 课时。 这是第 4 节课，共 4 节。 你可以在下方免费阅读本课时的完整内容 — 然后在浏览器中使用内置代码编辑器和全天候 AI 导师进行实践。 这是 Python Academy 学习路径的一部分，你的进度在网页和 CoddyKit 应用中同步。 Python Academy 课程共包含 4 节课。

np.dot 和 @

矩阵乘法：使用 np.dot(A, B) 或 @ 运算符（Python 3.5 及更高版本）。

import numpy as np

A = np.array([[1,2],[3,4]])
B = np.array([[5,6],[7,8]])

print(A @ B)
# [[19 22]
#  [43 50]]
print(np.dot(A, B))   # same result

逐元素乘法与矩阵乘法

* 表示逐元素乘法（Hadamard 乘积）。@ 表示矩阵乘法。请务必不要混淆二者。

import numpy as np

A = np.array([[1,2],[3,4]])
B = np.array([[2,0],[1,3]])

print(A * B)    # [[ 2  0] [ 3 12]] — element-wise
print(A @ B)    # [[ 4  6] [10 12]] — matrix multiply

转置

arr.T 会对数组进行转置（交换行和列）。对于更高维的数组，请使用 np.transpose(arr, axes)。

import numpy as np

A = np.array([[1,2,3],[4,5,6]])
print(A.shape)    # (2, 3)
print(A.T.shape)  # (3, 2)
print(A.T)

np.linalg.inv 和 np.linalg.det

计算矩阵的逆和行列式。

import numpy as np

A = np.array([[2.,1.],[1.,3.]])
print(np.linalg.inv(A))
# [[ 0.6 -0.2]
#  [-0.2  0.4]]
print(np.linalg.det(A))   # 5.0

求解线性系统

np.linalg.solve(A, b) 使用 LU 分解高效地求解 Ax = b。

import numpy as np

# Solve: 2x + y = 5; x + 3y = 10
A = np.array([[2.,1.],[1.,3.]])
b = np.array([5.,10.])
x = np.linalg.solve(A, b)
print(x)   # [1.  3.]   → x=1, y=3

特征值和特征向量

np.linalg.eig(A) 返回特征值和特征向量。对于对称矩阵，使用 np.linalg.eigh（速度更快且更稳定）。

import numpy as np

A = np.array([[4., 2.], [1., 3.]])
vals, vecs = np.linalg.eig(A)
print("Eigenvalues:", vals)    # [5.  2.]
print("Eigenvectors:\n", vecs)

SVD：奇异值分解

np.linalg.svd(A) 将 A 分解为 U、Sigma 和 Vt。它可用于降维（PCA）和求伪逆。

import numpy as np

A = np.array([[1,2],[3,4],[5,6]], dtype=float)
U, s, Vt = np.linalg.svd(A, full_matrices=False)
print("Singular values:", s)
# Reconstruct: U @ np.diag(s) @ Vt ≈ A

np.linalg.norm

计算向量范数和矩阵范数。

import numpy as np

v = np.array([3., 4.])
print(np.linalg.norm(v))           # 5.0  (Euclidean)
print(np.linalg.norm(v, ord=1))    # 7.0  (Manhattan)

A = np.eye(3)
print(np.linalg.norm(A, "fro"))    # 1.732 (Frobenius)

叉积和外积

np.cross(a, b) 用于计算三维叉积。np.outer(a, b) 用于计算外积。

import numpy as np

a = np.array([1,0,0])
b = np.array([0,1,0])
print(np.cross(a, b))   # [0 0 1]

print(np.outer([1,2,3], [4,5]))
# [[ 4  5]
#  [ 8 10]
#  [12 15]]

np.linalg.lstsq

用于超定系统的最小二乘解（方程数量多于未知数）。

import numpy as np

# Fit y = ax + b  to noisy data
X = np.column_stack([np.arange(5), np.ones(5)])
y = np.array([1.1, 2.0, 3.1, 3.9, 5.2])

coeffs, _, _, _ = np.linalg.lstsq(X, y, rcond=None)
print(f"slope={coeffs[0]:.2f}, intercept={coeffs[1]:.2f}")

np.einsum

np.einsum 使用爱因斯坦求和记号表示任意张量收缩；对于复杂的线性代数运算，它具有极高的灵活性。

import numpy as np

A = np.random.rand(3, 4)
B = np.random.rand(4, 5)

# Matrix multiplication via einsum:
C = np.einsum("ij,jk->ik", A, B)
print(C.shape)   # (3, 5)

# Trace:
M = np.eye(4)
print(np.einsum("ii->", M))   # 4.0

快速检查

在 NumPy 中（Python 3.5 及更高版本），哪个运算符用于矩阵乘法？

回顾

使用 @ 进行矩阵乘法，使用 np.linalg.solve 求解线性系统，使用 np.linalg.eig 求特征值，使用 np.linalg.svd 进行分解。np.einsum 可以处理任意张量收缩。

常见问题解答

「使用 NumPy 进行线性代数」课时是免费的吗？

是的 — 「使用 NumPy 进行线性代数」的完整文本可在网页上免费阅读。要进行交互式练习（内置代码编辑器和全天候 AI 导师）并解锁 Python Academy 课程的其余内容，请升级到 CoddyKit PRO。 Python Academy 课程共包含 4 节课。

「使用 NumPy 进行线性代数」这节课中我会学到什么？

执行矩阵乘法、矩阵分解并求解线性方程组。 你通过在浏览器中直接运行的动手代码来练习 Python Academy，全天候 AI 导师会在你学习这节课的过程中回答你的问题。

学习 Python Academy 需要有经验吗？

无需任何先前经验。CoddyKit 上的 Python Academy 课程适合初学者到高级学习者，你可以从这里开始或从头开始，按照自己的节奏学习。 这是第 4 节课，共 4 节。

「使用 NumPy 进行线性代数」课时需要多长时间？

大多数 CoddyKit 课程大约需要 5–10 分钟。每节课都很精短且互动，所以你能稳步进步，并在网页和应用中从离开的地方继续。

我能在这节 Python Academy 课中编写并运行代码吗？

能。每节 Python Academy 课都包含内置代码编辑器，你可以在浏览器中直接编写并运行真实代码，并获得即时 AI 反馈 — 无需本地设置。

此课程中的所有课时

  1. NumPy 数组与 dtypes
  2. 数组运算与广播
  3. 索引、切片与高级索引
  4. 使用 NumPy 进行线性代数
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