0Pricing
Python Academy · Lekcja

Algebra liniowa z NumPy

Proszę wykonywać mnożenie macierzy, rozkłady oraz rozwiązywać układy równań liniowych.

Algebra liniowa z NumPy to bezpłatna lekcja Python Academy na CoddyKit. To lekcja 4 z 4. Możesz przeczytać całą lekcję poniżej za darmo — a potem ćwiczyć ją interaktywnie w przeglądarce z wbudowanym edytorem kodu i tutorem AI dostępnym 24/7. To część ścieżki edukacyjnej Python Academy, a Twój postęp synchronizuje się między webem a aplikacją CoddyKit. Kurs Python Academy zawiera 4 lekcji w sumie.

np.dot i @

Do mnożenia macierzy należy używać np.dot(A, B) lub operatora @ (Python 3.5+).

import numpy as np

A = np.array([[1,2],[3,4]])
B = np.array([[5,6],[7,8]])

print(A @ B)
# [[19 22]
#  [43 50]]
print(np.dot(A, B))   # same result

Mnożenie element po elemencie a mnożenie macierzy

* oznacza mnożenie element po elemencie (iloczyn Hadamarda). @ oznacza mnożenie macierzy. Nie należy ich mylić.

import numpy as np

A = np.array([[1,2],[3,4]])
B = np.array([[2,0],[1,3]])

print(A * B)    # [[ 2  0] [ 3 12]] — element-wise
print(A @ B)    # [[ 4  6] [10 12]] — matrix multiply

Transpozycja

arr.T transponuje tablicę (zamienia wiersze i kolumny). W przypadku większej liczby wymiarów należy użyć np.transpose(arr, axes).

import numpy as np

A = np.array([[1,2,3],[4,5,6]])
print(A.shape)    # (2, 3)
print(A.T.shape)  # (3, 2)
print(A.T)

np.linalg.inv i np.linalg.det

Obliczają macierz odwrotną i wyznacznik.

import numpy as np

A = np.array([[2.,1.],[1.,3.]])
print(np.linalg.inv(A))
# [[ 0.6 -0.2]
#  [-0.2  0.4]]
print(np.linalg.det(A))   # 5.0

Rozwiązywanie układów równań liniowych

np.linalg.solve(A, b) efektywnie rozwiązuje układ Ax = b za pomocą rozkładu LU.

import numpy as np

# Solve: 2x + y = 5; x + 3y = 10
A = np.array([[2.,1.],[1.,3.]])
b = np.array([5.,10.])
x = np.linalg.solve(A, b)
print(x)   # [1.  3.]   → x=1, y=3

Wartości własne i wektory własne

np.linalg.eig(A) zwraca wartości własne i wektory własne. W przypadku macierzy symetrycznych należy użyć np.linalg.eigh (jest szybsze i bardziej stabilne).

import numpy as np

A = np.array([[4., 2.], [1., 3.]])
vals, vecs = np.linalg.eig(A)
print("Eigenvalues:", vals)    # [5.  2.]
print("Eigenvectors:\n", vecs)

SVD: rozkład według wartości osobliwych

np.linalg.svd(A) rozkłada A na U, Sigma i Vt. Jest używany do redukcji wymiarowości (PCA) oraz tworzenia macierzy pseudoodwrotnych.

import numpy as np

A = np.array([[1,2],[3,4],[5,6]], dtype=float)
U, s, Vt = np.linalg.svd(A, full_matrices=False)
print("Singular values:", s)
# Reconstruct: U @ np.diag(s) @ Vt ≈ A

np.linalg.norm

Oblicza normy wektorów i macierzy.

import numpy as np

v = np.array([3., 4.])
print(np.linalg.norm(v))           # 5.0  (Euclidean)
print(np.linalg.norm(v, ord=1))    # 7.0  (Manhattan)

A = np.eye(3)
print(np.linalg.norm(A, "fro"))    # 1.732 (Frobenius)

Iloczyn wektorowy i zewnętrzny

np.cross(a, b) służy do obliczania trójwymiarowego iloczynu wektorowego. np.outer(a, b) służy do obliczania iloczynu zewnętrznego.

import numpy as np

a = np.array([1,0,0])
b = np.array([0,1,0])
print(np.cross(a, b))   # [0 0 1]

print(np.outer([1,2,3], [4,5]))
# [[ 4  5]
#  [ 8 10]
#  [12 15]]

np.linalg.lstsq

Rozwiązanie metodą najmniejszych kwadratów dla układów nadokreślonych (z większą liczbą równań niż niewiadomych).

import numpy as np

# Fit y = ax + b  to noisy data
X = np.column_stack([np.arange(5), np.ones(5)])
y = np.array([1.1, 2.0, 3.1, 3.9, 5.2])

coeffs, _, _, _ = np.linalg.lstsq(X, y, rcond=None)
print(f"slope={coeffs[0]:.2f}, intercept={coeffs[1]:.2f}")

np.einsum

np.einsum wyraża dowolne kontrakcje tensorów za pomocą notacji sumacyjnej Einsteina — jest niezwykle elastyczne w przypadku złożonych operacji algebry liniowej.

import numpy as np

A = np.random.rand(3, 4)
B = np.random.rand(4, 5)

# Matrix multiplication via einsum:
C = np.einsum("ij,jk->ik", A, B)
print(C.shape)   # (3, 5)

# Trace:
M = np.eye(4)
print(np.einsum("ii->", M))   # 4.0

Szybkie sprawdzenie

Jaki operator wykonuje mnożenie macierzy w NumPy (Python 3.5+)?

Podsumowanie

Do mnożenia macierzy należy używać @, do układów równań liniowych — np.linalg.solve, do wartości własnych — np.linalg.eig, a do rozkładu — np.linalg.svd. np.einsum obsługuje dowolne kontrakcje tensorów.

Często zadawane pytania

Czy lekcja „Algebra liniowa z NumPy” jest bezpłatna?

Tak — pełny tekst „Algebra liniowa z NumPy” jest dostępny za darmo tutaj w sieci. Aby ćwiczyć ją interaktywnie (wbudowany edytor kodu i tutor AI dostępny 24/7) i odblokować resztę kursu Python Academy, przejdź na CoddyKit PRO. Kurs Python Academy zawiera 4 lekcji w sumie.

Co nauczysz się w „Algebra liniowa z NumPy”?

Proszę wykonywać mnożenie macierzy, rozkłady oraz rozwiązywać układy równań liniowych. Ćwiczysz Python Academy z praktycznym kodem, który uruchamiasz bezpośrednio w przeglądarce, a tutor AI dostępny 24/7 odpowiada na Twoje pytania podczas pracy nad lekcją.

Czy potrzebuję doświadczenia, aby zacząć Python Academy?

Nie wymagamy żadnego doświadczenia. Python Academy w CoddyKit jest strukturyzowany dla początkujących i zaawansowanych użytkowników, więc możesz zacząć tutaj lub od początku i uczyć się w swoim tempie. To lekcja 4 z 4.

Ile czasu zajmuje lekcja „Algebra liniowa z NumPy”?

Większość lekcji CoddyKit trwa około 5–10 minut. Każda lekcja to mały, interaktywny krok, dzięki czemu robisz systematyczne postępy i zawsze wracasz dokładnie do tego samego miejsca — na webie i w aplikacji.

Czy mogę pisać i uruchamiać kod w tej lekcji Python Academy?

Tak. Każda lekcja Python Academy zawiera wbudowany edytor kodu, więc piszesz i uruchamiasz prawdziwy kod bezpośrednio w przeglądarce i od razu otrzymujesz sprzężenie zwrotne od AI — bez konfiguracji na komputerze.

Wszystkie lekcje w tym kursie

  1. Tablice NumPy i dtypes
  2. Operacje na tablicach i broadcasting
  3. Indeksowanie, wycinanie i zaawansowane indeksowanie
  4. Algebra liniowa z NumPy
← Powrót do Python Academy