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Cryptology Academy · Lezione

Matematica dello scambio di chiavi Diffie-Hellman

Segua i passaggi del protocollo DH e l'ipotesi di difficoltà del logaritmo discreto.

Matematica dello scambio di chiavi Diffie-Hellman è una lezione Cryptology Academy gratuita su CoddyKit. Questa è la lezione 2 di 4. Puoi leggere la lezione completa qui gratuitamente — poi esercitati direttamente nel browser con un editor di codice integrato e un tutor IA disponibile 24/7. Fa parte del percorso di apprendimento Cryptology Academy, e i tuoi progressi si sincronizzano tra il web e l'app CoddyKit. Il corso Cryptology Academy include 4 lezioni in totale.

Benvenuto

In questa lezione analizziamo passo dopo passo lo scambio di chiavi Diffie-Hellman, dai parametri pubblici agli esponenti privati di Alice e Bob, fino al segreto condiviso.

Parametri pubblici

Alice e Bob concordano pubblicamente su: - p: un numero primo grande (2048+ bit in produzione) - g: un generatore di Z*p (di solito g=2 o g=5) Eve può vedere p e g. Conoscerli NON compromette il protocollo.

Chiave privata di Alice

Alice genera un segreto casuale: a (1 < a < p-1) Alice calcola il proprio valore pubblico: A = g^a mod p Alice invia A a Bob. Eve vede A. Eve non può ricavare a da A: è il problema del logaritmo discreto.

Chiave privata di Bob

Bob genera un segreto casuale: b (1 < b < p-1) Bob calcola il proprio valore pubblico: B = g^b mod p Bob invia B ad Alice. Eve vede B. Eve non può ricavare b da B.

Calcolo del segreto condiviso

Alice: S = B^a mod p = (g^b)^a mod p = g^(ab) mod p Bob: S = A^b mod p = (g^a)^b mod p = g^(ab) mod p Entrambi calcolano lo stesso S = g^(ab) mod p senza mai trasmetterlo.

Esempio con numeri piccoli

p=23, g=5 Alice: a=6, A = 5^6 mod 23 = 8 Bob: b=15, B = 5^15 mod 23 = 19 Alice: S = 19^6 mod 23 = 2 Bob: S = 8^15 mod 23 = 2 ✓ Eve vede: 23, 5, 8, 19, ma non può ricavare facilmente 2.

Problema del logaritmo discreto

Dato A = g^a mod p, trovare a. Per un p grande, ad esempio di 2048 bit, il miglior algoritmo conosciuto, il Number Field Sieve, richiede un tempo subesponenziale ma comunque astronomico: circa 2^100 operazioni per DH a 2048 bit.

Attacco man-in-the-middle

DH è vulnerabile agli attacchi MITM: Mallory intercetta A e B e sostituisce i valori con i propri. Condivide un segreto con Alice e un altro con Bob. Soluzione: autenticare lo scambio tramite certificati o autenticazione precondivisa.

Primi sicuri

p deve essere scelto con attenzione. Un primo sicuro p=2q+1, dove q è primo, garantisce che il gruppo DH non abbia sottogruppi piccoli che potrebbero essere sfruttati negli attacchi ai sottogruppi piccoli. NIST specifica gruppi DH approvati.

Dimensioni dei parametri DH

Raccomandazioni NIST: - 2048 bit: minimo per le nuove implementazioni - 3072 bit: equivalente a RSA-3072 - 4096 bit: sicurezza elevata Non utilizzi mai i gruppi Oakley 1/2 generati in precedenza, da 768/1024 bit: sono stati violati da attori statali nell'attacco Logjam.

Attacco Logjam (2015)

Logjam ha mostrato che molti server TLS utilizzavano lo stesso primo DH a 1024 bit. Gli attori statali potevano precalcolare il logaritmo discreto per questi primi specifici, consentendo la decifratura in tempo reale. Soluzione: utilizzare primi unici di almeno 2048 bit.

Verifica rapida

In DH con p=23, g=5, a=4, b=3, qual è il segreto condiviso?

Riepilogo

La matematica dello scambio di chiavi DH è chiara. Ora applichiamo lo stesso concetto alle curve ellittiche per ottenere ECDH: la stessa sicurezza con chiavi molto più piccole.

Domande Frequenti

La lezione «Matematica dello scambio di chiavi Diffie-Hellman» è gratuita?

Sì — il testo completo di «Matematica dello scambio di chiavi Diffie-Hellman» è gratuito qui sul web. Per esercitarvi in modo interattivo (un editor di codice integrato e un tutor IA 24/7) e sbloccare il resto del corso Cryptology Academy, passa a CoddyKit PRO. Il corso Cryptology Academy include 4 lezioni in totale.

Cosa imparerò in «Matematica dello scambio di chiavi Diffie-Hellman»?

Segua i passaggi del protocollo DH e l'ipotesi di difficoltà del logaritmo discreto. Eserciti Cryptology Academy con codice pratico che esegui direttamente nel browser, e un tutor IA 24/7 risponde alle tue domande mentre lavori sulla lezione.

Ho bisogno di esperienza per iniziare Cryptology Academy?

Non è richiesta alcuna esperienza precedente. Cryptology Academy su CoddyKit è strutturato per principianti e studenti avanzati, quindi puoi iniziare da qui o dall'inizio e procedere al tuo ritmo. Questa è la lezione 2 di 4.

Quanto tempo richiede la lezione «Matematica dello scambio di chiavi Diffie-Hellman»?

La maggior parte delle lezioni CoddyKit richiede circa 5–10 minuti. Ogni lezione è breve e interattiva, quindi fai progressi costanti e riprendi esattamente da dove hai lasciato su web e app.

Posso scrivere ed eseguire codice in questa lezione Cryptology Academy?

Sì. Ogni lezione Cryptology Academy include un editor di codice integrato, quindi scrivi ed esegui codice reale direttamente nel tuo browser e ricevi feedback istantaneo dall'IA — nessuna configurazione locale necessaria.

Tutte le lezioni di questo corso

  1. Il problema della distribuzione delle chiavi
  2. Matematica dello scambio di chiavi Diffie-Hellman
  3. ECDH: curve ellittiche per lo scambio di chiavi
  4. Segretezza in avanti e scambio di chiavi effimere
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