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Cryptology Academy · Leçon

Mathématiques de l’échange de clés Diffie-Hellman

Suivez les étapes du protocole DH et l’hypothèse de difficulté du logarithme discret.

Mathématiques de l’échange de clés Diffie-Hellman est une leçon Cryptology Academy gratuite sur CoddyKit. Ceci est la leçon 2 sur 4. Tu peux lire la leçon complète ci-dessous gratuitement — puis la pratiquer en direct dans le navigateur avec un éditeur de code intégré et un tuteur IA 24/7. Elle fait partie du parcours d'apprentissage Cryptology Academy, et ta progression se synchronise sur le web et l'application CoddyKit. Le cours Cryptology Academy comprend 4 leçons au total.

Bienvenue

Dans cette leçon, nous suivons l’échange de clés Diffie-Hellman étape par étape, des paramètres publics aux exposants privés d’Alice et de Bob, jusqu’au secret partagé.

Paramètres publics

Alice et Bob se mettent publiquement d’accord sur : - p : un grand nombre premier (au moins 2048 bits en production) - g : un générateur de Z*p (g=2 ou g=5, généralement) Eve peut voir p et g. Le fait de les connaître ne compromet NOT pas le protocole.

Clé privée d’Alice

Alice génère un secret aléatoire : a (1 < a < p-1) Alice calcule sa valeur publique : A = g^a mod p Alice envoie A à Bob. Eve voit A. Eve ne peut pas trouver a à partir de A : c’est le problème du logarithme discret.

Clé privée de Bob

Bob génère un secret aléatoire : b (1 < b < p-1) Bob calcule sa valeur publique : B = g^b mod p Bob envoie B à Alice. Eve voit B. Eve ne peut pas trouver b à partir de B.

Calcul du secret partagé

Alice : S = B^a mod p = (g^b)^a mod p = g^(ab) mod p Bob : S = A^b mod p = (g^a)^b mod p = g^(ab) mod p Tous deux calculent le même S = g^(ab) mod p sans jamais le transmettre.

Exemple avec de petits nombres

p=23, g=5 Alice : a=6, A = 5^6 mod 23 = 8 Bob : b=15, B = 5^15 mod 23 = 19 Alice : S = 19^6 mod 23 = 2 Bob : S = 8^15 mod 23 = 2 ✓ Eve voit : 23, 5, 8, 19, mais ne peut pas trouver facilement 2.

Problème du logarithme discret

Étant donné A = g^a mod p, trouver a. Pour un grand p (2048 bits), le meilleur algorithme connu (le crible général du corps de nombres) nécessite un temps sous-exponentiel, mais néanmoins astronomique : environ 2^100 opérations pour DH sur 2048 bits.

Attaque de l’homme du milieu

DH est vulnérable aux attaques MITM : Mallory intercepte A et B et les remplace par ses propres valeurs. Elle partage un secret avec Alice et un autre avec Bob. Solution : authentifier l’échange (au moyen de certificats ou d’une authentification prépartagée).

Nombres premiers sûrs

p doit être choisi avec soin. Un nombre premier sûr p=2q+1 (où q est premier) garantit que le groupe DH ne contient pas de petits sous-groupes susceptibles d’être exploités lors d’attaques par petits sous-groupes. NIST définit les groupes DH approuvés.

Tailles des paramètres DH

Recommandations de NIST : - 2048 bits : minimum pour les nouveaux déploiements - 3072 bits : équivalent à RSA-3072 - 4096 bits : sécurité élevée N’utilisez jamais les groupes Oakley 1/2 pré-générés (768/1024 bits) : ils ont été cassés par des acteurs étatiques (attaque Logjam).

Attaque Logjam (2015)

Logjam a montré que de nombreux serveurs TLS utilisaient le même nombre premier DH de 1024 bits. Des acteurs étatiques pouvaient précalculer le logarithme discret pour ces nombres premiers précis, ce qui permettait un déchiffrement en temps réel. Solution : utiliser des nombres premiers uniques d’au moins 2048 bits.

Vérification rapide

Dans DH avec p=23, g=5, a=4 et b=3, quel est le secret partagé ?

Récapitulatif

Les mathématiques de l’échange de clés DH sont claires. Nous allons maintenant appliquer le même concept aux courbes elliptiques pour obtenir ECDH : la même sécurité avec des clés beaucoup plus petites.

Questions Fréquemment Posées

La leçon « Mathématiques de l’échange de clés Diffie-Hellman » est-elle gratuite ?

Oui — le texte complet de « Mathématiques de l’échange de clés Diffie-Hellman » est gratuit à lire ici sur le web. Pour la pratiquer de manière interactive (un éditeur de code intégré et un tuteur IA 24/7) et déverrouiller le reste du cours Cryptology Academy, passe à CoddyKit PRO. Le cours Cryptology Academy comprend 4 leçons au total.

Qu'est-ce que j'apprendrai dans « Mathématiques de l’échange de clés Diffie-Hellman » ?

Suivez les étapes du protocole DH et l’hypothèse de difficulté du logarithme discret. Tu pratiques Cryptology Academy avec du code pratique que tu exécutes directement dans le navigateur, et un tuteur IA 24/7 répond à tes questions au fur et à mesure que tu avances dans la leçon.

Dois-je avoir de l'expérience pour commencer Cryptology Academy ?

Aucune expérience préalable n'est requise. Cryptology Academy sur CoddyKit est structuré pour les débutants jusqu'aux apprenants avancés, donc tu peux commencer ici ou depuis le début et avancer à ton rythme. Ceci est la leçon 2 sur 4.

Combien de temps prend la leçon « Mathématiques de l’échange de clés Diffie-Hellman » ?

La plupart des leçons CoddyKit prennent environ 5–10 minutes. Chacune est courte et interactive, tu progresses régulièrement et tu repiques exactement où tu t'es arrêté sur le web et l'app.

Peux-tu écrire et exécuter du code dans cette leçon Cryptology Academy ?

Oui. Chaque leçon Cryptology Academy inclut un éditeur de code intégré, tu écris et exécutes du vrai code directement dans ton navigateur et tu reçois des retours IA instantanés — aucune configuration locale requise.

Toutes les leçons de ce cours

  1. Le problème de la distribution des clés
  2. Mathématiques de l’échange de clés Diffie-Hellman
  3. ECDH : les courbes elliptiques pour l’échange de clés
  4. Confidentialité persistante et échange de clés éphémères
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