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Cryptology Academy · Aula

Matemática da troca de chaves Diffie-Hellman

Acompanhe o protocolo DH e a hipótese de dificuldade do logaritmo discreto.

Matemática da troca de chaves Diffie-Hellman é uma aula grátis de Cryptology Academy no CoddyKit. Esta é a aula 2 de 4. Você pode ler a aula completa abaixo gratuitamente — depois pratica ao vivo no navegador com um editor de código integrado e um tutor de IA 24/7. Faz parte do caminho de aprendizado de Cryptology Academy, e seu progresso é sincronizado entre a web e o app CoddyKit. O curso de Cryptology Academy inclui 4 aulas no total.

Boas-vindas

Nesta lição, acompanharemos a troca de chaves Diffie-Hellman passo a passo, desde os parâmetros públicos, passando pelos expoentes privados de Alice e Bob, até o segredo compartilhado.

Parâmetros públicos

Alice e Bob concordam publicamente com: - p: um primo grande (2048 bits ou mais em produção) - g: um gerador de Z*p (geralmente g=2 ou g=5) Eve pode ver p e g. Saber esses valores não quebra o protocolo (NOT).

Chave privada de Alice

Alice gera um segredo aleatório: a (1 < a < p-1) Alice calcula seu valor público: A = g^a mod p Alice envia A para Bob. Eve vê A. Eve não consegue encontrar a a partir de A — problema do logaritmo discreto.

Chave privada de Bob

Bob gera um segredo aleatório: b (1 < b < p-1) Bob calcula seu valor público: B = g^b mod p Bob envia B para Alice. Eve vê B. Eve não consegue encontrar b a partir de B.

Cálculo do segredo compartilhado

Alice: S = B^a mod p = (g^b)^a mod p = g^(ab) mod p Bob: S = A^b mod p = (g^a)^b mod p = g^(ab) mod p Ambos calculam o mesmo S = g^(ab) mod p sem jamais transmiti-lo.

Exemplo com números pequenos

p=23, g=5 Alice: a=6, A = 5^6 mod 23 = 8 Bob: b=15, B = 5^15 mod 23 = 19 Alice: S = 19^6 mod 23 = 2 Bob: S = 8^15 mod 23 = 2 ✓ Eve vê: 23, 5, 8, 19, mas não consegue encontrar 2 com facilidade.

Problema do logaritmo discreto

Dado A = g^a mod p, encontre a. Para um p grande (2048 bits), o melhor algoritmo conhecido (o crivo do campo de números) exige um tempo subexponencial, mas ainda assim astronômico: aproximadamente 2^100 operações para DH de 2048 bits.

Ataque do intermediário

DH é vulnerável a MITM: Mallory intercepta A e B e substitui os valores pelos dela. Ela compartilha um segredo com Alice e outro com Bob. Solução: autenticar a troca (certificados ou autenticação pré-compartilhada).

Primos seguros

p deve ser escolhido com cuidado. Um primo seguro p=2q+1 (em que q é primo) garante que o grupo DH não tenha subgrupos pequenos que possam ser explorados em ataques de subgrupo pequeno. NIST especifica grupos DH aprovados.

Tamanhos dos parâmetros DH

Recomendações da NIST: - 2048 bits: mínimo para novas implementações - 3072 bits: equivalente ao RSA-3072 - 4096 bits: alta segurança Nunca use o Oakley Group 1/2 pré-gerado (768/1024 bits) — ele foi quebrado por agentes estatais (ataque Logjam).

Ataque Logjam (2015)

O Logjam mostrou que muitos servidores TLS usavam o mesmo primo DH de 1024 bits. Agentes estatais poderiam pré-calcular o logaritmo discreto para esses primos específicos, permitindo a descriptografia em tempo real. Solução: use primos exclusivos de 2048 bits ou mais.

Verificação rápida

Em DH com p=23, g=5, a=4 e b=3, qual é o segredo compartilhado?

Recapitulação

A matemática da troca de chaves DH está clara. Em seguida, aplicaremos o mesmo conceito a curvas elípticas para obter ECDH — a mesma segurança com chaves muito menores.

Perguntas Frequentes

A aula “Matemática da troca de chaves Diffie-Hellman” é grátis?

Sim — o texto completo de “Matemática da troca de chaves Diffie-Hellman” é grátis para ler aqui na web. Para praticá-la interativamente (um editor de código integrado e um tutor de IA 24/7) e desbloquear o restante do curso de Cryptology Academy, atualize para CoddyKit PRO. O curso de Cryptology Academy inclui 4 aulas no total.

O que vou aprender em “Matemática da troca de chaves Diffie-Hellman”?

Acompanhe o protocolo DH e a hipótese de dificuldade do logaritmo discreto. Você pratica Cryptology Academy com código prático que executa diretamente no navegador, e um tutor de IA 24/7 responde suas dúvidas enquanto trabalha na aula.

Preciso ter experiência prévia para começar Cryptology Academy?

Nenhuma experiência prévia é necessária. Cryptology Academy no CoddyKit é estruturado para alunos iniciantes até avançados, então você pode começar aqui ou desde o início e aprender no seu ritmo. Esta é a aula 2 de 4.

Quanto tempo leva a aula “Matemática da troca de chaves Diffie-Hellman”?

A maioria das aulas CoddyKit leva cerca de 5–10 minutos. Cada uma é compacta e interativa, então você faz progresso constante e retoma exatamente de onde parou entre web e app.

Posso escrever e executar código nesta aula de Cryptology Academy?

Sim. Cada aula de Cryptology Academy inclui um editor de código integrado, então você escreve e executa código real direto no navegador e recebe feedback de IA instantaneamente — nenhuma configuração local necessária.

Todas as aulas deste curso

  1. O problema da distribuição de chaves
  2. Matemática da troca de chaves Diffie-Hellman
  3. ECDH: curvas elípticas para troca de chaves
  4. Sigilo de encaminhamento e troca efêmera de chaves
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