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Cryptology Academy · Lektion

Mathematik des Diffie-Hellman-Schlüsselaustauschs

Vollziehen Sie das DH-Protokoll und die Annahme der Schwierigkeit des diskreten Logarithmus nach.

Mathematik des Diffie-Hellman-Schlüsselaustauschs ist eine kostenlose Cryptology Academy-Lektion auf CoddyKit. Dies ist Lektion 2 von 4. Du kannst die komplette Lektion unten kostenlos lesen – dann übst du sie direkt im Browser mit einem integrierten Code-Editor und einem KI-Tutor rund um die Uhr. Sie ist Teil des Cryptology Academy-Lernpfads, und dein Fortschritt wird über Web und CoddyKit-App synchronisiert. Der Cryptology Academy-Kurs umfasst insgesamt 4 Lektionen.

Willkommen

In dieser Lektion verfolgen Sie den Diffie-Hellman-Schlüsselaustausch Schritt für Schritt – von den öffentlichen Parametern über die privaten Exponenten von Alice und Bob bis zum gemeinsamen Geheimnis.

Öffentliche Parameter

Alice und Bob einigen sich öffentlich auf: - p: eine große Primzahl (in der Praxis mindestens 2048 Bit) - g: einen Erzeuger von Z*p (üblicherweise g=2 oder g=5) Eve kann p und g sehen. Dass sie diese Werte kennt, macht das Protokoll NICHT unsicher.

Alices privater Schlüssel

Alice erzeugt ein zufälliges Geheimnis: a (1 < a < p-1) Alice berechnet ihren öffentlichen Wert: A = g^a mod p Alice sendet A an Bob. Eve sieht A. Eve kann a aus A nicht berechnen – das ist das diskrete-Logarithmus-Problem.

Bobs privater Schlüssel

Bob erzeugt ein zufälliges Geheimnis: b (1 < b < p-1) Bob berechnet seinen öffentlichen Wert: B = g^b mod p Bob sendet B an Alice. Eve sieht B. Eve kann b aus B nicht berechnen.

Berechnung des gemeinsamen Geheimnisses

Alice: S = B^a mod p = (g^b)^a mod p = g^(ab) mod p Bob: S = A^b mod p = (g^a)^b mod p = g^(ab) mod p Beide berechnen dasselbe S = g^(ab) mod p, ohne es jemals zu übertragen.

Beispiel mit kleinen Zahlen

p=23, g=5 Alice: a=6, A = 5^6 mod 23 = 8 Bob: b=15, B = 5^15 mod 23 = 19 Alice: S = 19^6 mod 23 = 2 Bob: S = 8^15 mod 23 = 2 ✓ Eve sieht: 23, 5, 8, 19, kann 2 aber nicht ohne Weiteres berechnen.

Diskretes-Logarithmus-Problem

Gegeben ist A = g^a mod p; gesucht ist a. Für große p (2048 Bit) benötigt der derzeit beste bekannte Algorithmus (der Number Field Sieve) zwar subexponentielle, aber immer noch astronomisch lange Zeit: etwa 2^100 Operationen für 2048-Bit-DH.

Man-in-the-Middle-Angriff

DH ist anfällig für Man-in-the-Middle-Angriffe: Mallory fängt A und B ab und ersetzt sie durch eigene Werte. Sie teilt ein Geheimnis mit Alice und ein anderes mit Bob. Die Lösung: Authentifizieren Sie den Austausch (über Zertifikate oder vorab geteilte Authentifizierungsdaten).

Sichere Primzahlen

p muss sorgfältig gewählt werden. Eine sichere Primzahl p=2q+1 (wobei q prim ist) stellt sicher, dass die DH-Gruppe keine kleinen Untergruppen enthält, die bei Small-Subgroup-Angriffen ausgenutzt werden könnten. NIST legt zugelassene DH-Gruppen fest.

DH-Parametergößen

Empfehlungen von NIST: - 2048 Bit: Mindestgröße für neue Bereitstellungen - 3072 Bit: entspricht RSA-3072 - 4096 Bit: hohe Sicherheit Verwenden Sie niemals die vorab generierten Oakley Group 1/2 (768/1024 Bit) – sie wurden von staatlichen Akteuren gebrochen (Logjam-Angriff).

Logjam-Angriff (2015)

Logjam zeigte, dass viele TLS-Server dieselbe 1024-Bit-DH-Primzahl verwendeten. Staatliche Akteure konnten den diskreten Logarithmus für diese speziellen Primzahlen vorab berechnen und dadurch eine Entschlüsselung in Echtzeit ermöglichen. Die Lösung: Verwenden Sie eindeutige Primzahlen mit mindestens 2048 Bit.

Kurze Überprüfung

Wie lautet beim DH mit p=23, g=5, a=4 und b=3 das gemeinsame Geheimnis?

Zusammenfassung

Die Mathematik des DH-Schlüsselaustauschs ist klar. Als Nächstes wenden Sie dasselbe Konzept auf elliptische Kurven an und erhalten ECDH – bei gleicher Sicherheit mit deutlich kleineren Schlüsseln.

Häufig gestellte Fragen

Ist die Lektion „Mathematik des Diffie-Hellman-Schlüsselaustauschs“ kostenlos?

Ja — der vollständige Text von „Mathematik des Diffie-Hellman-Schlüsselaustauschs“ ist hier im Web kostenlos zu lesen. Um sie interaktiv zu üben (integrierter Code-Editor und 24/7 KI-Tutor) und den Rest des Cryptology Academy-Kurses freizuschalten, upgrade auf CoddyKit PRO. Der Cryptology Academy-Kurs umfasst insgesamt 4 Lektionen.

Was lerne ich in „Mathematik des Diffie-Hellman-Schlüsselaustauschs“?

Vollziehen Sie das DH-Protokoll und die Annahme der Schwierigkeit des diskreten Logarithmus nach. Du übst Cryptology Academy mit praktischem Code, den du direkt im Browser ausführst, und ein 24/7 KI-Tutor beantwortet deine Fragen während du die Lektion bearbeitest.

Brauche ich Erfahrung, um Cryptology Academy zu starten?

Keine Vorkenntnisse erforderlich. Cryptology Academy auf CoddyKit ist für Anfänger bis fortgeschrittene Lernende strukturiert, sodass du hier starten oder von Anfang an beginnen und in deinem eigenen Tempo voranschreiten kannst. Dies ist Lektion 2 von 4.

Wie lange dauert die Lektion „Mathematik des Diffie-Hellman-Schlüsselaustauschs“?

Die meisten CoddyKit-Lektionen dauern etwa 5–10 Minuten. Jede ist kompakt und interaktiv, sodass du stetig Fortschritte machst und genau dort weitermachst, wo du aufgehört hast – im Web und in der App.

Kann ich in dieser Cryptology Academy-Lektion Code schreiben und ausführen?

Ja. Jede Cryptology Academy-Lektion enthält einen integrierten Code-Editor, sodass du echten Code direkt in deinem Browser schreibst und ausführst und sofort KI-Feedback erhältst — ohne lokale Einrichtung erforderlich.

Alle Lektionen in diesem Kurs

  1. Das Problem der Schlüsselverteilung
  2. Mathematik des Diffie-Hellman-Schlüsselaustauschs
  3. ECDH: Elliptische Kurven für den Schlüsselaustausch
  4. Forward Secrecy und ephemerer Schlüsselaustausch
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