SPDZ e MPC aritmetico su condivisioni segrete

L'MPC booleano opera sui bit, usando XOR e AND. L'MPC aritmetico opera su interi o elementi di un campo e supporta direttamente addizione e moltiplicazione. È più adatto alle applicazioni di machine learning e statistica.

Un valore x ∈ Z_p viene condiviso come x = x_1 + x_2 + ... + x_n mod p. L'addizione di valori condivisi è gratuita: ogni partecipante somma localmente le proprie condivisioni. Non è necessaria alcuna comunicazione.

Per moltiplicare le condivisioni [a] e [b], i partecipanti distribuiscono in anticipo una tripla di Beaver ([a_t], [b_t], [c_t]) in cui c_t = a_t·b_t. La moltiplicazione nella fase online usa un solo round di comunicazione.

SPDZ (Damgård et al. 2012) = "Somewhat Homomorphic Encryption-based Distributed Zero-Knowledge". La fase offline genera triple autenticate tramite SHE. La fase online è una valutazione rapida basata su condivisioni additive.

Ogni condivisione è accompagnata da un MAC: MAC(x_i) = α·x mod p, dove α è una chiave segreta globale. Questo impedisce ai partecipanti malevoli di corrompere le proprie condivisioni senza essere scoperti.

La fase offline di SPDZ usa la Somewhat Homomorphic Encryption (BGV/BFV). I partecipanti moltiplicano omomorficamente le proprie condivisioni per produrre triple di Beaver autenticate. Questa fase richiede molte risorse di calcolo, ma può essere eseguita in parallelo.

Date la tripla ([a],[b],[c]) e gli input [x],[y], si rivelino d=x-a ed e=y-b, mascherati in modo da non rivelare informazioni. Quindi [x·y] = [c] + d·[b] + e·[a] + d·e. È necessario un solo round di comunicazione.

MASCOT sostituisce la fase offline basata su SHE con l'estensione OT, producendo più rapidamente le triple per i campi piccoli. È la soluzione offline preferita per SPDZ a 2 partecipanti.

Più ospedali calcolano l'età media dei pazienti senza condividere i propri record. Ciascuno codifica i propri dati come condivisioni aritmetiche. SPDZ valuta somma e conteggio; i partecipanti apprendono soltanto il rapporto.

SPDZ-2k (Cramer et al. 2018) si estende a Z_{2^k} per un'aritmetica a virgola fissa adatta al machine learning. La libreria MP-SPDZ raggiunge 1 milione di moltiplicazioni al secondo su una LAN con 2 partecipanti, secondo i benchmark.

Qual è lo scopo delle triple di moltiplicazione di Beaver nell'MPC aritmetico?

L'MPC aritmetico usa condivisioni additive su Z_p. L'addizione è gratuita, mentre la moltiplicazione usa le triple di Beaver in un solo round. SPDZ aggiunge MAC per la sicurezza contro i partecipanti malevoli. MASCOT usa OT per generare rapidamente le triple. MP-SPDZ porta queste tecniche nella pratica.