SPDZ y MPC aritmético sobre secretos compartidos

La MPC booleana opera sobre bits (XOR/AND). La MPC aritmética opera sobre enteros o elementos de cuerpo, y admite directamente la suma y la multiplicación. Es más adecuada para aplicaciones de aprendizaje automático y estadística.

Un valor x ∈ Z_p se comparte como x = x_1 + x_2 + ... + x_n mod p. La suma de valores compartidos es gratuita: cada parte suma localmente sus comparticiones. No se necesita comunicación.

Para multiplicar las comparticiones [a] y [b], las partes distribuyen previamente un triple de Beaver ([a_t], [b_t], [c_t]) donde c_t = a_t·b_t. La multiplicación online utiliza una ronda de comunicación.

SPDZ (Damgård et al. 2012) = "Somewhat Homomorphic Encryption-based Distributed Zero-Knowledge". La fase offline genera triples autenticadas mediante SHE. La fase online realiza rápidamente la evaluación con comparticiones aditivas.

Cada compartición lleva asociado un MAC: MAC(x_i) = α·x mod p, donde α es una clave secreta global. Esto impide que las partes maliciosas corrompan sus comparticiones sin ser detectadas.

La fase offline de SPDZ utiliza Somewhat Homomorphic Encryption (BGV/BFV). Las partes multiplican homomórficamente sus comparticiones para producir triples de Beaver autenticadas. Esta fase requiere mucho cálculo, pero se puede paralelizar.

Dado el triple ([a],[b],[c]) y las entradas [x],[y], revele d=x-a y e=y-b (están enmascarados, por lo que no filtran información). Entonces [x·y] = [c] + d·[b] + e·[a] + d·e. Se requiere una ronda de comunicación.

MASCOT sustituye la fase offline basada en SHE por una extensión de OT, lo que permite producir triples más rápidamente para cuerpos pequeños. Es la opción offline preferida para SPDZ de dos partes.

Varios hospitales calculan la edad media de sus pacientes sin compartir los historiales. Cada uno codifica sus datos como comparticiones aritméticas. SPDZ evalúa la suma y el recuento; las partes solo conocen el cociente.

SPDZ-2k (Cramer et al. 2018) se amplía a Z_{2^k} para trabajar con aritmética de punto fijo adecuada para el aprendizaje automático. La biblioteca MP-SPDZ alcanza, según las pruebas, 1 millón de multiplicaciones por segundo a través de una LAN para 2 partes.

¿Cuál es la finalidad de los triples de multiplicación de Beaver en la MPC aritmética?

La MPC aritmética utiliza comparticiones aditivas sobre Z_p. La suma es gratuita; la multiplicación utiliza triples de Beaver en una ronda. SPDZ añade MAC para ofrecer seguridad frente a partes maliciosas. MASCOT utiliza OT para generar triples rápidamente. MP-SPDZ lleva estas técnicas a la práctica.