Calculus & Probability Lab — —用可拖动的 3D 图像学习微积分、概率与统计

最有用的类型，是让你移动某个对象并立即看到数学结果如何响应——例如拖动一个点时切线实时更新，或增加矩形数量时积分逐渐收敛——而不是只显示一张固定的、已经算好的图表。Calculus & Probability Lab 正是围绕这一点打造的：22 个函数族和真正的 3D z = f(x, y) 曲面，你可以旋转视角并重塑曲面，还有实时切线叠加层和黎曼和叠加层，贯穿 4 个世界中的 50 节课程。

Calculus & Probability Lab 已上线 App Store 和 Google Play，评级为 4+，支持 10 种语言。它适合学习 AP Calculus AB 或第一门大学课程（如 Calculus 1 或统计学入门）的学生，也适合想重新学习微积分的成年人。第一个世界还兼作先修数学复习课程。

选择一条曲线和一个范围，然后将控件从 1 个矩形滑动到最多 60 个矩形。矩形数量较少时，总和会明显比较粗略；随着数量增加，矩形总面积会逐渐收敛到微积分基本定理给出的精确定积分。重点就在于观察收敛过程——它将离散的近似方法与正在估算的连续答案联系起来。

它是一个包含两个输入变量的函数，会在三维空间中生成曲面，而不是在二维空间中生成曲线——例如抛物面、鞍面、高斯山丘等形状。当你可以旋转视角并重塑真实曲面时，多元微积分中的偏导数和临界点等概念更容易建立直觉，而不必只对一个从未见过的形状进行代数运算。

Probability Lab 会反复投掷通过物理模拟的骰子，并根据结果构建真实的经验直方图，再将其与该情境的精确理论分布叠加对比。中心极限定理预测，随着试验次数增加，独立随机结果的总和会趋近于正态分布——投掷足够多次并观察直方图逐渐贴近预测的钟形曲线，就能把抽象的定理变成亲眼看到的过程。

有——输入 AP Calculus AB 考试日期后，应用会从该日期倒推，制定逐日学习计划；每个世界还配有一道 AP 风格的简答论证题，由 AI 根据评分标准逐点评分，以及一项 60 秒热身练习，重点加强你曾经答错的主题。AP 是 College Board 的商标，College Board 与本应用没有关联。

两者都涵盖。Probability & Distributions 世界涵盖样本空间、随机变量、期望值、二项分布和泊松模型，以及正态曲线；Probability Lab 则有 18 个情境，包括骰子和、抛硬币和泊松到达过程。这是概率与统计入门内容，并不是完整的统计学课程。

Calculus & Probability Lab 可在 iOS 和 Android 上免费下载并免费开始使用，但包含广告。免费方案包含每个世界的前 3 节课（共 50 节中的 12 节）、6 个函数族、4 个骰子情境、每天 50 次骰子投掷、每天 2 次 AI 解释和 2 次简答题评分、3 个保存的设置、学习计划和热身练习。Pro 可解锁全部 50 节课、全部 22 个函数族、全部 18 个骰子情境、无限次投掷和 AI 解释，并移除广告。

按顺序分为 4 个世界：Functions & Limits（函数族、斜率、极限、连续性）、Derivative Lab（幂法则、乘积法则、商法则和链式法则、偏导数、相关变化率、最优化、中值定理）、Integral Lab（黎曼和、微积分基本定理、曲线之间的面积、旋转体体积），以及 Probability & Distributions（样本空间、期望值、二项分布和泊松模型、正态曲线）。

Calculus & Probability Lab 是商店页面中的名称，而主屏幕显示的是简称 Calc · Prob Lab。这是同一个应用；Google Play 软件包名称为 com.coddykit.calcprob。