Calculus & Probability Lab
Calculus & Probability Lab — Lerne Differential- und Integralrechnung, Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik mit 3D-Grafiken, die du ziehen kannst
Calculus & Probability Lab ist eine kostenlose iPhone- und Android-App für Schülerinnen und Schüler in AP Calculus AB oder in einem ersten Hochschulkurs für Analysis oder Statistik – und für alle, die ihre Mathematikkenntnisse auffrischen möchten. Sie vermittelt Analysis, Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik mit 3D-Flächen, die du live ziehen, drehen und verformen kannst: Bewege einen Punkt entlang einer Kurve und beobachte, wie sich die Ableitung aktualisiert, schichte Riemann-Rechtecke zu einem bestimmten Integral auf oder würfle mit physikalisch simulierten Würfeln, bis sich das Histogramm zur Glockenkurve stabilisiert – in 50 Lektionen in vier Welten.
- Preis
- Kostenlos, Pro-Upgrade
- Plattformen
- iOS und Android
- Sprachen
- 10
- Altersfreigabe
- 4+
- Erfordert
- iOS 15.1 oder neuer
Erst ziehen, nie auswendig lernen.
Eine als Formel notierte Ableitung bleibt abstrakt, bis sich eine Steigung tatsächlich neigt, während du einen Punkt entlang der Kurve ziehst. Calculus & Probability Lab setzt genau dort an – nicht erst beim Ergebnis: Jede Regel in der App erscheint zuerst als etwas, das du mit dem Finger bewegst, und erst danach als mathematische Schreibweise.
Was es ist
Calculus & Probability Lab ist eine kostenlose iOS- und Android-App, mit der du Analysis, Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik durch interaktive 3D-Visualisierungen statt statischer Diagramme lernst. Ein Funktionslabor stellt 22 Funktionsfamilien und echte z = f(x, y)-Flächen dar, die du mit Schiebereglern drehen und verformen kannst – inklusive einer live eingeblendeten Tangente und einer Riemann-Summe, die sich beim Hinzufügen von Rechtecken dem exakten bestimmten Integral annähert. Ein Wahrscheinlichkeitslabor lässt physikalisch simulierte Würfel rollen, um ein echtes empirisches Histogramm zu erstellen, und legt dieses über die exakte theoretische Verteilung. So erscheint der zentrale Grenzwertsatz als etwas, das auf dem Bildschirm passiert, statt nur als Behauptung im Lehrbuch. Ein Lernpfad mit 50 Lektionen in 4 Welten führt direkt zum passenden Labor, und ein KI-Tutor erklärt die Fläche, Formel oder Verteilung, die gerade auf dem Bildschirm zu sehen ist.
In der App
So sieht es aus
Hintergrund
Warum ist es etwas anderes, Analysis und Wahrscheinlichkeitsrechnung zu visualisieren, als darüber zu lesen?
Analysis und Wahrscheinlichkeitsrechnung werden meist als Formeln vermittelt, die man in einer Prüfung korrekt anwenden soll. Dadurch entsteht eine Lücke zwischen dem Kennen einer Regel und dem Verständnis dafür, warum sie gilt. Eine Ableitung ist eine Steigung, ein bestimmtes Integral ist eine Fläche und eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ist eine Form, in der sich echte Zufallsergebnisse bei genügend vielen Versuchen einpendeln – alle drei sind zunächst visuelle und erst danach symbolische Ideen. Zu sehen, wie sie sich unter deiner eigenen Eingabe verändern, schließt eine Lücke, die ein statisches Lehrbuchdiagramm nicht schließen kann.
Ableitung als bewegte TangenteSteigung statt auswendig zu lernender Formel
Wenn du einen Punkt entlang einer Kurve ziehst und beobachtest, wie sich die Steigung der Tangente in Echtzeit aktualisiert, wird die Ableitung zu einer Größe, deren Veränderung du verfolgen kannst – statt zu einem Ausdruck, den du auf Papier ableitest und einfach für korrekt hältst. Die Potenz-, Produkt-, Quotienten- und Kettenregel erzeugen an verschiedenen Punkten derselben Kurve jeweils ein anderes, sichtbares Tangentenverhalten.
Riemann-Summen und das bestimmte IntegralRechtecke, die sich einer exakten Fläche annähern
Eine Riemann-Summe nähert die Fläche unter einer Kurve mit einer festen Anzahl von Rechtecken an. Wenn die Anzahl der Rechtecke von eins auf sechzig steigt, konvergiert die Summe sichtbar zum exakten bestimmten Integral, das durch den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gegeben ist. Diese Konvergenz zu beobachten, statt sie nur erklärt zu bekommen, verbindet die diskrete Näherung mit dem kontinuierlichen Ergebnis.
z = f(x, y)-FlächenFunktionen mit zwei Variablen
Eine Funktion mit zwei Variablen erzeugt eine dreidimensionale Fläche statt einer zweidimensionalen Kurve – etwa ein Paraboloid, einen Sattel oder einen Gauß-Hügel. Wenn du die Fläche durch Ziehen an ihren Koeffizienten drehst und verformst, entwickelst du ein intuitives Verständnis für partielle Ableitungen und kritische Punkte, bevor du die dahinterstehende Algebra durcharbeitest.
Der zentrale Grenzwertsatz, veranschaulicht mit WürfelnEmpirische Ergebnisse nähern sich der Normalverteilungskurve
Der zentrale Grenzwertsatz sagt voraus, dass sich die Summe unabhängiger Zufallsergebnisse – etwa Würfelwürfe oder Münzwürfe – bei genügend vielen Versuchen einer Normalverteilung annähert, unabhängig von der Form der einzelnen Ergebnisse. Wenn du physikalisch simulierte Würfel wiederholt würfelst und beobachtest, wie sich ein empirisches Histogramm der vorhergesagten Glockenkurve annähert, erhältst du eine direkte, praktische Demonstration eines Satzes, der oft nur als Formel vermittelt wird.
So funktioniert es
So verwendest du die App
Der Lernpfad und die beiden interaktiven Labore sind so konzipiert, dass sie sich gegenseitig verstärken: Eine Lektion führt eine Idee ein, und das passende Labor ist nur einen Fingertipp entfernt, um sie greifbar zu machen.
Arbeite eine Lektion durch
Jede der 50 Lektionen in Functions & Limits, Derivative Lab, Integral Lab und Probability & Distributions baut auf der vorherigen auf – von der Frage, was eine Funktion ist, über den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung bis hin zu Binomial- und Poisson-Modellen.
Öffne das passende Labor
Jede Lektion führt direkt zum 3D Function Lab oder zum würfelbasierten Probability Lab, in dem genau diese Idee behandelt wird. So wird ein gerade im Text eingeführtes Konzept sofort zu etwas, das du ziehen, drehen oder würfeln kannst.
Bitte den KI-Tutor, den Bildschirminhalt zu erklären
Tippe bei jeder Fläche, Formel oder Würfelverteilung auf „Erklären“, um eine verständliche Erklärung deiner konkreten Koeffizienten, deiner konkreten Steigung oder deines konkreten Mittelwerts und deiner konkreten Standardabweichung zu erhalten – keine allgemeine Lehrbuchdefinition.
Was steckt drin
Das steckt in den beiden Laboren
22
Funktionsfamilien
Geraden, Parabeln, kubische und quartische Funktionen, Sinus- und Cosinuswellen, Exponentialfunktionen, natürliche Logarithmen, Kehrwerte, Quadratwurzeln, Gaußsche Hügel und logistische S-Kurven – jede als exakter Graph in geschlossener Form dargestellt, ohne Näherungen oder Drift.
3D
Echte z = f(x, y)-Flächen
Paraboloide, Sattelflächen, Gauß-Hügel, Wellen, Kugelkappen, Kegel, geneigte Ebenen, Affensättel und Eierkartonflächen – alle so gestaltet, dass du sie zum Drehen ziehen und zum Zoomen zusammen- oder auseinanderziehen kannst.
Live
Einblendungen für Tangente und Riemann-Summe
Bewege einen Punkt entlang einer beliebigen Kurve, um zu beobachten, wie sich ihre Ableitung live neu berechnet, oder stelle die Anzahl der Rechtecke von 1 bis 60 ein und beobachte, wie sich die Riemann-Summe dem exakten bestimmten Integral annähert.
18
Wahrscheinlichkeitsszenarien
Würfelsummen mit d4, d6 und d20, Binomialversuche mit Münzwürfen und Poisson-Prozesse für eintreffende Ereignisse – jedes Szenario basiert auf einem physikalisch simulierten Wurf statt auf einer Abkürzung mit Zufallszahlen.
50
Lektionen in 4 Welten
Functions & Limits, Derivative Lab, Integral Lab und Probability & Distributions – mit Quizfragen zu jeder Lektion und einer falschen Antwort, die den konkreten Fehler dahinter benennt.
KI
KI-Tutor und Prüfungsvorbereitung für AP
Tippe auf „Erklären“, um eine verständliche Erklärung zu allem zu erhalten, was auf dem Bildschirm zu sehen ist. Ein Lernplan rechnet ab einem eingegebenen Prüfungstermin für AP Calculus AB rückwärts; Aufgaben mit freien Antworten werden anhand eines Bewertungsrasters Punkt für Punkt bewertet.
Passend
Für wen es geeignet ist – und für wen nicht
Es passt zu dir, wenn du
- Du besuchst AP Calculus AB, einen ersten Hochschulkurs in Analysis oder Statistik und möchtest eine Regel sehen, bevor du sie auswendig lernst
- Du hast einmal Analysis gelernt, das meiste wieder vergessen und möchtest deine visuelle Intuition zurückgewinnen statt nur Formeln aufzufrischen
- Du möchtest den Zentralen Grenzwertsatz tatsächlich beobachten, statt ihn aus einem Lehrbuch einfach glauben zu müssen
- Du möchtest lieber eine 3D-Fläche durch Ziehen umformen, als einen statischen Graphen in einem PDF zu lesen
- Du zählst die Tage bis zu einer AP Calculus AB-Prüfung und möchtest einen Lernplan, der auf dem tatsächlichen Datum basiert
Du bist hier nicht richtig, wenn du
- Du möchtest jede Lektion und Funktionsfamilie kostenlos nutzen – 38 von 50 Lektionen und 16 von 22 Funktionsfamilien sind Pro
- Du brauchst täglich unbegrenzt viele Würfe im kostenlosen Tarif – der kostenlose Tarif begrenzt die Anzahl der Würfe pro Tag
- Du suchst einen vollständigen Kurs zu mehreren Variablen oder Differentialgleichungen; die App behandelt Analysis mit einer Variablen sowie eine Einführung in Flächen z = f(x, y) und die Grundlagen der Wahrscheinlichkeit
- Du möchtest den KI-Tutor und die Bewertung von Aufgaben mit freier Antwort ohne tägliches Limit im kostenlosen Tarif nutzen
Datenschutz
Was der KI-Tutor und die Prüfungsbewertung senden
Wenn du auf „Erklären“ tippst, werden die konkrete Fläche, Formel oder Verteilung, die du gerade ansiehst – deine Koeffizienten, deine Steigung, deine Würfelergebnisse – an einen KI-Dienst gesendet, damit er eine verständliche Erklärung genau für diesen Fall erstellt. Antworten aus Übungen mit freier Antwort werden auf dieselbe Weise zur KI-Bewertung anhand eines Bewertungsrasters gesendet. Fortschritt, abgeschlossene Lektionen und gespeicherte Laboreinstellungen werden innerhalb der App erfasst.
Die vollständigen Details findest du in der Datenschutzerklärung von CoddyKit.
Fragen
Häufig gestellte Fragen
Welche App eignet sich gut zur Visualisierung von Analysis?
Am nützlichsten ist eine App, bei der du etwas bewegen kannst und sofort siehst, wie die Mathematik darauf reagiert – etwa eine Tangente, die beim Ziehen eines Punktes aktualisiert wird, oder ein Integral, das sich beim Hinzufügen von Rechtecken annähert –, statt einen festen, bereits gelösten Graphen zu zeigen. Calculus & Probability Lab ist genau darauf ausgelegt: 22 Funktionsfamilien und echte 3D-Flächen z = f(x, y), die du drehen und umformen kannst, mit einer live aktualisierten Tangentenlinien-Einblendung und einer Riemann-Summen-Einblendung, verbunden mit 50 Lektionen in 4 Welten.
Ist Calculus & Probability Lab auf iPhone und Android verfügbar, und für wen ist die App gedacht?
Calculus & Probability Lab ist im App Store und bei Google Play verfügbar, mit einer Altersfreigabe ab 4 Jahren und in 10 Sprachen. Die App richtet sich an Lernende in AP Calculus AB oder einem ersten Hochschulkurs wie Calculus 1 oder Einführung in die Statistik sowie an Erwachsene, die Analysis noch einmal lernen möchten. Die erste Welt dient zugleich als Auffrischung der Vorkalkulation.
Wie funktioniert die Riemann-Summen-Einblendung?
Du wählst eine Kurve und einen Bereich aus und verschiebst dann einen Regler von 1 bis auf 60 Rechtecke. Bei einer kleinen Anzahl von Rechtecken ist die Summe sichtbar ungenau; mit steigender Anzahl nähert sich die Gesamtfläche der Rechtecke dem exakten bestimmten Integral an, das durch den Fundamentalsatz der Analysis gegeben ist. Entscheidend ist, die Annäherung zu beobachten – so wird eine diskrete Näherungsmethode mit der stetigen Antwort verbunden, die sie schätzt.
Was ist eine Fläche z = f(x, y), und warum ist sie für die Analysis wichtig?
Sie ist eine Funktion mit zwei Eingangsvariablen und erzeugt eine Fläche im dreidimensionalen Raum statt einer Kurve in zwei Dimensionen – etwa ein Paraboloid, einen Sattel, einen Gauß-Hügel und ähnliche Formen. Konzepte der mehrdimensionalen Analysis wie partielle Ableitungen und kritische Punkte lassen sich leichter intuitiv verstehen, wenn du die tatsächliche Fläche drehen und umformen kannst, statt nur die Algebra einer Form durchzuarbeiten, die du noch nie gesehen hast.
Wie veranschaulicht der Würfelsimulator den Zentralen Grenzwertsatz?
Das Wahrscheinlichkeitslabor würfelt wiederholt mit physikalisch simulierten Würfeln und erstellt aus den Ergebnissen ein echtes empirisches Histogramm, das der exakten theoretischen Verteilung für dieses Szenario gegenübergestellt wird. Der Zentrale Grenzwertsatz sagt voraus, dass sich Summen unabhängiger Zufallsergebnisse mit zunehmender Anzahl an Versuchen einer Normalverteilung annähern – oft genug zu würfeln und zu beobachten, wie sich das Histogramm sichtbar der vorhergesagten Glockenkurve annähert, macht aus einem abstrakten Satz etwas, dessen Eintreten du selbst gesehen hast.
Ist Calculus & Probability Lab für AP Calculus AB nützlich?
Ja – gib ein Prüfungsdatum für AP Calculus AB ein, und die App erstellt dafür rückwärts gezählt einen Tagesplan, ergänzt um eine AP-ähnliche Begründungsaufgabe mit freier Antwort pro Welt, die von einer KI Punkt für Punkt anhand eines Bewertungsrasters bewertet wird, sowie eine 60-sekündige Aufwärmübung mit Schwerpunkt auf Themen, bei denen du Fehler gemacht hast. AP ist eine Marke des College Board, das nicht mit dieser App verbunden ist.
Behandelt die App Wahrscheinlichkeit und Statistik oder nur Analysis?
Beides. Die Welt „Wahrscheinlichkeit & Verteilungen“ behandelt Ergebnismengen, Zufallsvariablen, Erwartungswerte, Binomial- und Poisson-Modelle sowie die Normalkurve. Das Wahrscheinlichkeitslabor bietet 18 Szenarien mit Würfelsummen, Münzwürfen und Poisson-Ankünften. Es ist eine Einführung in Wahrscheinlichkeit und Statistik, kein vollständiger Statistikkurs.
Ist Calculus & Probability Lab kostenlos?
Calculus & Probability Lab kann auf iOS und Android kostenlos heruntergeladen und mit Werbung kostenlos gestartet werden. Der kostenlose Tarif umfasst die ersten 3 Lektionen jeder Welt (12 von 50), 6 Funktionsfamilien, 4 Würfelszenarien, 50 Würfe pro Tag, 2 KI-Erklärungen und 2 Bewertungen von Aufgaben mit freier Antwort pro Tag, 3 gespeicherte Einstellungen, den Lernplan und die Aufwärmübungen. Pro schaltet alle 50 Lektionen, alle 22 Funktionsfamilien, alle 18 Würfelszenarien, unbegrenzte Würfe und KI-Erklärungen frei und entfernt die Werbung.
Welche Themen der Analysis deckt der Lernpfad ab?
Vier Welten in dieser Reihenfolge: Funktionen & Grenzwerte (Funktionsfamilien, Steigung, Grenzwerte, Stetigkeit), Ableitungslabor (Potenz-, Produkt-, Quotienten- und Kettenregel, partielle Ableitungen, verwandte Änderungsraten, Optimierung, der Mittelwertsatz), Integrallabor (Riemann-Summen, der Fundamentalsatz der Analysis, Flächen zwischen Kurven, Rotationsvolumen) und Wahrscheinlichkeit & Verteilungen (Ergebnismengen, Erwartungswert, Binomial- und Poisson-Modelle, die Normalkurve).
Warum zeigt die App intern „Calc · Prob Lab“ an?
Calculus & Probability Lab ist der Name des Store-Eintrags, und der Startbildschirm zeigt die Kurzform „Calc · Prob Lab“. Es handelt sich um dieselbe App; das Google Play-Paket ist com.coddykit.calcprob.
Loslegen
Erlebe, wie die Ableitung entsteht
Kostenlos starten, mit einem Pro-Upgrade für jede Funktionsfamilie, jede Lektion und jedes Würfelszenario.
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Verfügbar auf iOS und Android.