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Cryptology Academy · Lektion

RSA-Verschlüsselungs- und -Entschlüsselungsmathematik

Wenden Sie modulare Exponentiation an, um eine Nachricht zu ver- und entschlüsseln.

RSA-Verschlüsselungs- und -Entschlüsselungsmathematik ist eine kostenlose Cryptology Academy-Lektion auf CoddyKit. Dies ist Lektion 3 von 4. Du kannst die komplette Lektion unten kostenlos lesen – dann übst du sie direkt im Browser mit einem integrierten Code-Editor und einem KI-Tutor rund um die Uhr. Sie ist Teil des Cryptology Academy-Lernpfads, und dein Fortschritt wird über Web und CoddyKit-App synchronisiert. Der Cryptology Academy-Kurs umfasst insgesamt 4 Lektionen.

Willkommen

Nachdem wir RSA-Schlüssel erzeugt haben, wenden wir sie nun an. Verschlüsselung und Entschlüsselung sind beides modulare Exponentiationen – einfach zu berechnen, aber ohne den privaten Schlüssel praktisch unmöglich umzukehren.

Textbook-RSA-Verschlüsselung

Verschlüsseln Sie die Nachricht M (als Ganzzahl) mit dem öffentlichen Schlüssel (e, n): C = M^e mod n Beispiel: M=42, e=17, n=3233 C = 42^17 mod 3233 Python: C = pow(42, 17, 3233) = 2557

Textbook-RSA-Entschlüsselung

Entschlüsseln Sie den Chiffretext C mit dem privaten Schlüssel (d, n): M = C^d mod n C=2557, d=2753, n=3233 M = 2557^2753 mod 3233 Python: M = pow(2557, 2753, 3233) = 42 ✓

Warum es funktioniert: der Satz von Euler

C^d mod n = (M^e)^d mod n = M^(ed) mod n. Da ed ≡ 1 (mod φ(n)) gilt, ist M^(ed) = M^(1+k×φ(n)) = M × (M^φ(n))^k ≡ M × 1^k = M.

Square-and-Multiply-Algorithmus

Eine naive Berechnung von M^e würde e Multiplikationen erfordern. Square-and-Multiply reduziert dies auf O(log e) Multiplikationen: pow(base, exp, mod) in Python verwendet diesen Algorithmus automatisch.

Beschränkung der Nachrichtengröße

Textbook RSA erfordert M < n. Bei RSA-2048 darf M höchstens 256 Byte groß sein. Das reicht zur Verschlüsselung eines kurzen AES-Schlüssels, nicht aber zur direkten Verschlüsselung großer Dateien.

Warum Textbook RSA unsicher ist

Probleme bei Raw RSA: 1. Dasselbe M ergibt immer dasselbe C (deterministisch) 2. Kleines M mit kleinem e: C = M^e wörtlich (keine modulare Reduktion) 3. Multiplikativ: Enc(M1)×Enc(M2) = Enc(M1×M2) Padding-Schemata lösen all diese Probleme.

RSA-Verschlüsselung in Python (OAEP)

from cryptography.hazmat.primitives.asymmetric import padding from cryptography.hazmat.primitives import hashes ciphertext = public_key.encrypt( b'Secret message', padding.OAEP( mgf=padding.MGF1(algorithm=hashes.SHA256()), algorithm=hashes.SHA256(), label=None ) )

RSA-Entschlüsselung in Python

plaintext = private_key.decrypt( ciphertext, padding.OAEP( mgf=padding.MGF1(algorithm=hashes.SHA256()), algorithm=hashes.SHA256(), label=None ) ) print(plaintext) # b'Secret message'

Muster für hybride Verschlüsselung mit RSA und AES

# Real-world pattern: aes_key = os.urandom(32) # Random 256-bit AES key encrypted_key = rsa_encrypt(aes_key, recipient_pub) # RSA ciphertext = aes_gcm_encrypt(aes_key, plaintext) # AES # Send: encrypted_key + ciphertext

RSA-Leistungswerte

RSA-2048-Verschlüsselung (öffentlich): etwa 0,1 ms. RSA-2048-Entschlüsselung (privat): etwa 1 ms. AES-256-GCM: etwa 100 MB/s. Hybride Verschlüsselung kombiniert die Geschwindigkeit des RSA-Schlüsselaustauschs mit dem Datendurchsatz von AES.

Kurzer Test

Bei Verwendung von Textbook RSA mit e=3 und n=33: Wie lautet die Verschlüsselung von M=5?

Zusammenfassung

Die Mathematik der RSA-Verschlüsselung und -Entschlüsselung ist nun klar. Als Nächstes sehen wir, wie RSA in der Praxis HTTPS, SSH und Codesignaturen schützt.

Häufig gestellte Fragen

Ist die Lektion „RSA-Verschlüsselungs- und -Entschlüsselungsmathematik“ kostenlos?

Ja — der vollständige Text von „RSA-Verschlüsselungs- und -Entschlüsselungsmathematik“ ist hier im Web kostenlos zu lesen. Um sie interaktiv zu üben (integrierter Code-Editor und 24/7 KI-Tutor) und den Rest des Cryptology Academy-Kurses freizuschalten, upgrade auf CoddyKit PRO. Der Cryptology Academy-Kurs umfasst insgesamt 4 Lektionen.

Was lerne ich in „RSA-Verschlüsselungs- und -Entschlüsselungsmathematik“?

Wenden Sie modulare Exponentiation an, um eine Nachricht zu ver- und entschlüsseln. Du übst Cryptology Academy mit praktischem Code, den du direkt im Browser ausführst, und ein 24/7 KI-Tutor beantwortet deine Fragen während du die Lektion bearbeitest.

Brauche ich Erfahrung, um Cryptology Academy zu starten?

Keine Vorkenntnisse erforderlich. Cryptology Academy auf CoddyKit ist für Anfänger bis fortgeschrittene Lernende strukturiert, sodass du hier starten oder von Anfang an beginnen und in deinem eigenen Tempo voranschreiten kannst. Dies ist Lektion 3 von 4.

Wie lange dauert die Lektion „RSA-Verschlüsselungs- und -Entschlüsselungsmathematik“?

Die meisten CoddyKit-Lektionen dauern etwa 5–10 Minuten. Jede ist kompakt und interaktiv, sodass du stetig Fortschritte machst und genau dort weitermachst, wo du aufgehört hast – im Web und in der App.

Kann ich in dieser Cryptology Academy-Lektion Code schreiben und ausführen?

Ja. Jede Cryptology Academy-Lektion enthält einen integrierten Code-Editor, sodass du echten Code direkt in deinem Browser schreibst und ausführst und sofort KI-Feedback erhältst — ohne lokale Einrichtung erforderlich.

Alle Lektionen in diesem Kurs

  1. Konzepte der Public-Key-Kryptografie
  2. RSA-Schlüsselerzeugung Schritt für Schritt
  3. RSA-Verschlüsselungs- und -Entschlüsselungsmathematik
  4. RSA: Praxisanwendungen und Schlüssellängen
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