RSA 加密与解密数学
应用模幂运算加密和解密消息
RSA 加密与解密数学 是 CoddyKit 上的免费 Cryptology Academy 课时。 这是第 3 节课，共 4 节。 你可以在下方免费阅读本课时的完整内容 — 然后在浏览器中使用内置代码编辑器和全天候 AI 导师进行实践。 这是 Cryptology Academy 学习路径的一部分，你的进度在网页和 CoddyKit 应用中同步。 Cryptology Academy 课程共包含 4 节课。
欢迎
生成 RSA 密钥后，现在开始使用它们。加密和解密都是模幂运算——计算起来很简单，但没有私钥就无法实际逆向。
教科书式 RSA 加密
将消息 M（作为整数）使用公钥 (e, n) 加密：
C = M^e mod n
示例：M=42，e=17，n=3233
C = 42^17 mod 3233
Python: C = pow(42, 17, 3233) = 2557
教科书式 RSA 解密
使用私钥 (d, n) 解密密文 C：
M = C^d mod n
C=2557，d=2753，n=3233
M = 2557^2753 mod 3233
Python: M = pow(2557, 2753, 3233) = 42 ✓
为什么可行：欧拉定理
C^d mod n = (M^e)^d mod n = M^(ed) mod n。
由于 ed ≡ 1 (mod φ(n))，M^(ed) = M^(1+k×φ(n)) = M × (M^φ(n))^k ≡ M × 1^k = M。
平方-乘算法
直接计算 M^e 需要进行 e 次乘法。平方-乘算法将其减少到 O(log e) 次乘法：
Python 中的 pow(base, exp, mod) 会自动使用该算法。
消息长度限制
教科书式 RSA 要求 M < n。对于 RSA-2048，M 最大为 256 字节。这足以加密较短的 AES 密钥，但不适合直接加密大文件。
为什么教科书式 RSA 不安全
原始 RSA 存在以下问题：
1. 相同的 M 始终得到相同的 C（确定性）
2. 当 M 较小且 e 较小时：C = M^e 就是字面上的结果（不会发生模约简）
3. 具有乘法性：Enc(M1)×Enc(M2) = Enc(M1×M2)
填充方案可以解决所有这些问题。
在 Python 中使用 RSA 加密（OAEP）
from cryptography.hazmat.primitives.asymmetric import padding
from cryptography.hazmat.primitives import hashes
ciphertext = public_key.encrypt(
b'Secret message',
padding.OAEP(
mgf=padding.MGF1(algorithm=hashes.SHA256()),
algorithm=hashes.SHA256(),
label=None
)
)
在 Python 中使用 RSA 解密
plaintext = private_key.decrypt(
ciphertext,
padding.OAEP(
mgf=padding.MGF1(algorithm=hashes.SHA256()),
algorithm=hashes.SHA256(),
label=None
)
)
print(plaintext) # b'Secret message'
RSA + AES 混合模式
# Real-world pattern:
aes_key = os.urandom(32) # Random 256-bit AES key
encrypted_key = rsa_encrypt(aes_key, recipient_pub) # RSA
ciphertext = aes_gcm_encrypt(aes_key, plaintext) # AES
# Send: encrypted_key + ciphertext
RSA 性能数据
RSA-2048 公钥加密速度约为 0.1 毫秒。RSA-2048 私钥解密速度约为 1 毫秒。AES-256-GCM 的速度约为 100 MB/s。混合加密结合了 RSA 密钥交换的速度和 AES 的数据吞吐量。
快速检查
使用教科书式 RSA，e=3、n=33 时，M=5 的加密结果是什么？
回顾
RSA 加密和解密的数学原理已经清晰了。接下来，我们将了解 RSA 如何在现实世界中保护 HTTPS、SSH 和代码签名。
常见问题解答
「RSA 加密与解密数学」课时是免费的吗？
是的 — 「RSA 加密与解密数学」的完整文本可在网页上免费阅读。要进行交互式练习（内置代码编辑器和全天候 AI 导师）并解锁 Cryptology Academy 课程的其余内容，请升级到 CoddyKit PRO。 Cryptology Academy 课程共包含 4 节课。
「RSA 加密与解密数学」这节课中我会学到什么？
应用模幂运算加密和解密消息 你通过在浏览器中直接运行的动手代码来练习 Cryptology Academy，全天候 AI 导师会在你学习这节课的过程中回答你的问题。
学习 Cryptology Academy 需要有经验吗？
无需任何先前经验。CoddyKit 上的 Cryptology Academy 课程适合初学者到高级学习者，你可以从这里开始或从头开始，按照自己的节奏学习。 这是第 3 节课，共 4 节。
「RSA 加密与解密数学」课时需要多长时间？
大多数 CoddyKit 课程大约需要 5–10 分钟。每节课都很精短且互动，所以你能稳步进步，并在网页和应用中从离开的地方继续。
我能在这节 Cryptology Academy 课中编写并运行代码吗？
能。每节 Cryptology Academy 课都包含内置代码编辑器，你可以在浏览器中直接编写并运行真实代码，并获得即时 AI 反馈 — 无需本地设置。
此课程中的所有课时
- 公钥密码学概念
- RSA 密钥生成步骤详解
- RSA 加密与解密数学
- RSA 的现实应用场景与密钥长度