0Pricing
R Academy · Урок

Разложения SVD, QR и Холецкого

Применяйте svd(), qr() и chol() для снижения размерности и факторизации

«Разложения SVD, QR и Холецкого» — бесплатный урок R Academy на CoddyKit. Это урок 4 из 4. Ты можешь прочитать весь урок бесплатно ниже — а потом практиковать его прямо в браузере с встроенным редактором кода и ИИ-репетитором 24/7. Это часть пути обучения R Academy, и твой прогресс синхронизируется между веб-версией и приложением CoddyKit. Курс R Academy содержит 4 уроков всего.

Зачем нужны разложения матриц?

Разложения матриц представляют A в виде произведения более простых матриц. Они выявляют скрытую структуру (ранг, обусловленность), обеспечивают эффективные вычисления и лежат в основе PCA, регрессии и оптимизации в статистике и машинном обучении.

# Three fundamental decompositions:
# 1. SVD: A = U D V'  (any matrix)
# 2. QR:  A = Q R    (any matrix)
# 3. Cholesky: A = L L'  (symmetric positive definite)

# Each serves a purpose:
# SVD -> PCA, pseudoinverse, rank, image compression
# QR  -> linear regression, Gram-Schmidt, eigenvalues
# Cholesky -> fast solve for SPD systems, simulation

A <- matrix(c(4, 3, 2,
              3, 6, 1,
              2, 1, 5), nrow = 3, byrow = TRUE)
cat('Matrix ready for decomposition')
print(A)

SVD: функция svd()

Сингулярное разложение (SVD) раскладывает любую матрицу m×n: A = U D V', где U и V — ортогональные матрицы, а D — диагональная матрица с неотрицательными сингулярными числами, расположенными в порядке убывания.

A <- matrix(c(1, 2, 3,
              4, 5, 6), nrow = 2, byrow = TRUE)

# Compute SVD
svd_result <- svd(A)

# Components:
svd_result$d  # singular values (decreasing)
svd_result$u  # left singular vectors  (2x2)
svd_result$v  # right singular vectors (3x2)

cat('Singular values:', svd_result$d, '\n')
cat('Rank of A:', sum(svd_result$d > 1e-10), '\n')

Восстановление матрицы с помощью SVD

Восстановите A по SVD как A = U %*% diag(d) %*% t(V). Приближения малого ранга сохраняют только первые k сингулярных чисел и векторов — это основа сжатия изображений и подавления шума.

A <- matrix(c(1, 2, 3,
              4, 5, 6,
              7, 8, 9), nrow = 3, byrow = TRUE)

res <- svd(A)
U <- res$u; d <- res$d; V <- res$v

# Full reconstruction: A = U diag(d) V'
A_reconstructed <- U %*% diag(d) %*% t(V)
all.equal(A, A_reconstructed)  # TRUE

# Rank-1 approximation (best rank-1 approx by Eckart-Young)
A_rank1 <- d[1] * U[, 1] %*% t(V[, 1])
print(round(A_rank1, 2))

# Frobenius error of rank-1 approx
sqrt(sum((A - A_rank1)^2))

SVD: псевдообратная матрица и ранг

SVD даёт псевдообратную матрицу A⁺ = V D⁺ U', где D⁺ заменяет каждое ненулевое сингулярное число его обратной величиной. Это позволяет решить Ax = b в смысле наименьших квадратов, даже если A не квадратная или не имеет полного ранга.

A <- matrix(c(1, 2, 3,
              4, 5, 6), nrow = 2, byrow = TRUE)

# Pseudoinverse via SVD
svd_res <- svd(A)
tol <- 1e-10
# Invert nonzero singular values
d_inv <- ifelse(svd_res$d > tol, 1/svd_res$d, 0)
A_pinv <- svd_res$v %*% diag(d_inv) %*% t(svd_res$u)
print(A_pinv)  # 3x2 pseudoinverse

# Least-squares solution: x = A+ b
b <- c(7, 8)
x_ls <- A_pinv %*% b
print(x_ls)

# Compare with MASS::ginv
# MASS::ginv(A) should give the same result

Разложение QR: qr()

Разложение QR представляет A в виде A = QR, где Q — ортогональная матрица (Q'Q = I), а R — верхнетреугольная. Оно используется в линейной регрессии, при вычислении собственных значений (QR-алгоритм) и ортогонализации Грама — Шмидта.

A <- matrix(c(1, 2,
              3, 4,
              5, 6), nrow = 3, byrow = TRUE)

# Compute QR decomposition
qr_res <- qr(A)

# Extract Q and R
Q <- qr.Q(qr_res)  # 3x2 orthogonal
R <- qr.R(qr_res)  # 2x2 upper triangular

cat('Q is orthogonal: Q\'Q = I\n')
print(round(t(Q) %*% Q, 10))  # Identity

cat('R is upper triangular:\n')
print(round(R, 6))

# Reconstruct A = Q %*% R
all.equal(A, Q %*% R)  # TRUE

QR для регрессии

Решение нормальных уравнений линейной регрессии с помощью QR численно предпочтительнее. Поскольку Q'Q = I, нормальные уравнения A'Ax = A'b преобразуются в R'Q'QRx = R'Q'b, а затем упрощаются до Rx = Q'b и решаются обратной подстановкой.

# Generate regression data
set.seed(7)
n <- 20
x1 <- rnorm(n); x2 <- rnorm(n)
y <- 1 + 2*x1 - 0.5*x2 + rnorm(n, sd = 0.5)

# Design matrix
X <- cbind(intercept = 1, x1 = x1, x2 = x2)

# QR solve: numerically stable
beta_qr <- qr.solve(X, y)
print(beta_qr)  # ~c(1, 2, -0.5)

# Compare with lm()
beta_lm <- coef(lm(y ~ x1 + x2))
all.equal(beta_qr, beta_lm, check.names = FALSE)  # TRUE

# The qr.solve internals use backsolve on R
cat('QR regression is lm()\'s default method')

Разложение Холецкого: chol()

Разложение Холецкого представляет симметричную положительно определённую матрицу в виде A = L L', где L — нижнетреугольная матрица. Функция R chol() возвращает верхнетреугольный множитель U, так что A = t(U) %*% U.

# Symmetric positive definite matrix
A <- matrix(c(4, 2,
              2, 3), nrow = 2, byrow = TRUE)

# Cholesky decomposition: A = t(U) %*% U
U <- chol(A)
print(U)
# Note: chol() returns UPPER triangular in R

# Reconstruct
all.equal(A, t(U) %*% U)  # TRUE

# Attempting Cholesky on non-PD matrix throws error
# Catch it:
result <- tryCatch(
  chol(matrix(c(1, 3, 3, 2), nrow = 2)),
  error = function(e) cat('Error:', e$message)
)

Решение с помощью разложения Холецкого

Для симметричных положительно определённых систем (например, с ковариационными матрицами) решение на основе разложения Холецкого вдвое быстрее решения на основе LU. Используйте chol2inv() для вычисления обратной матрицы или backsolve/forwardsolve с множителем Холецкого.

# SPD system: typical in statistics (covariance matrices)
set.seed(1)
X <- matrix(rnorm(30), nrow = 10, ncol = 3)
A <- crossprod(X)  # X'X is always SPD
b <- c(1, 2, 3)

# Cholesky factor
U <- chol(A)  # Upper triangular

# Solve A x = b using two triangular solves
# A = t(U) %*% U -> solve t(U) y = b, then U x = y
y <- forwardsolve(t(U), b)
x <- backsolve(U, y)
print(x)

# Verify
all.equal(as.vector(A %*% x), b)

# Or: inverse via chol2inv
A_inv <- chol2inv(U)
all.equal(x, as.vector(A_inv %*% b))

SVD в PCA

PCA с помощью SVD: отцентрируйте матрицу данных X, затем вычислите SVD центрированной X. Правые сингулярные векторы V задают направления главных компонент, а сингулярные числа d связаны с объяснённой дисперсией (d²/(n-1)).

set.seed(42)
n <- 50; p <- 3
X <- matrix(rnorm(n * p), nrow = n)
# Add correlation
X[, 2] <- 0.8 * X[, 1] + 0.6 * X[, 2]

# Center
X_c <- scale(X, center = TRUE, scale = FALSE)

# SVD of centered data
svd_res <- svd(X_c)

# Variance explained by each PC
var_explained <- svd_res$d^2 / (n - 1)
prop_var <- var_explained / sum(var_explained)
cat('Proportion of variance explained:\n')
print(round(prop_var, 3))

# Compare with prcomp
pc <- prcomp(X)
all.equal(prop_var, pc$sdev^2 / sum(pc$sdev^2))

Ранг матрицы с помощью SVD

Ранг матрицы равен числу сингулярных чисел, которыми нельзя пренебречь. SVD даёт наиболее надёжный с численной точки зрения способ определить ранг: просто подсчитайте значения d, превышающие порог (обычно max(d) * tol).

# Full-rank matrix (rank 3)
A <- matrix(c(1, 0, 0,
              0, 2, 0,
              0, 0, 3), nrow = 3)
svd(A)$d  # c(3, 2, 1) - all nonzero -> rank 3

# Rank-deficient matrix (rank 2)
B <- matrix(c(1, 2, 3,
              2, 4, 6,   # row 2 = 2 * row 1
              0, 1, 1), nrow = 3, byrow = TRUE)
svd(B)$d  # Third value is ~0

# Rank function using SVD
matrix_rank <- function(M, tol = 1e-10) {
  d <- svd(M)$d
  sum(d > tol * d[1])  # relative tolerance
}
matrix_rank(B)  # 2

Разложение Холецкого для выборки из многомерного нормального распределения

Чтобы получить выборку из многомерного нормального распределения N(μ, Σ), вычислите множитель Холецкого U для Σ, а затем преобразуйте стандартные нормальные величины: X = μ + Z %*% U. Именно так внутри работает MASS::mvrnorm().

set.seed(99)
# Covariance matrix
Sigma <- matrix(c(4, 2,
                  2, 3), nrow = 2)
mu <- c(1, 5)
n_samples <- 500

# Cholesky factor
U <- chol(Sigma)

# Sample standard normals
Z <- matrix(rnorm(n_samples * 2), nrow = n_samples)

# Transform: X ~ N(mu, Sigma)
X <- sweep(Z %*% U, 2, mu, FUN = '+')

# Check empirical covariance
print(round(cov(X), 2))  # Should be close to Sigma
print(round(colMeans(X), 2))  # Should be close to mu

Быстрая проверка

Проверьте своё понимание разложений SVD, QR и Холецкого в R.

Повторение: SVD, QR и разложение Холецкого

Главное: SVD (svd()) возвращает d, u, v и используется для PCA, определения ранга, псевдообратной матрицы и приближений малого ранга. QR (qr()) возвращает ортогональную Q и верхнетреугольную R и используется для регрессии и повышения устойчивости. Разложение Холецкого (chol()) возвращает верхнетреугольную U, для которой A = t(U)%*%U; это самый быстрый вариант для систем SPD. Все эти разложения точно восстанавливают A, но предназначены для разных вычислительных задач.

A <- matrix(c(4, 2, 2, 3), nrow = 2)

# SVD
res <- svd(A)
all.equal(A, res$u %*% diag(res$d) %*% t(res$v))  # TRUE

# QR (on a design matrix)
X <- cbind(1, c(1,2,3,4,5))
qr_res <- qr(X)
all.equal(X, qr.Q(qr_res) %*% qr.R(qr_res))  # TRUE

# Cholesky
U <- chol(A)
all.equal(A, t(U) %*% U)  # TRUE

# Use cases:
# svd() -> PCA, rank, pseudoinverse
# qr()  -> regression, stability
# chol()-> SPD solve, MVN sampling

Часто задаваемые вопросы

Урок «Разложения SVD, QR и Холецкого» бесплатный?

Да — полный текст урока «Разложения SVD, QR и Холецкого» бесплатно доступен здесь в веб-версии. Чтобы практиковать его интерактивно (встроенный редактор кода и ИИ-репетитор 24/7) и разблокировать остальной курс R Academy, подпишись на CoddyKit PRO. Курс R Academy содержит 4 уроков всего.

Чему я научусь в уроке «Разложения SVD, QR и Холецкого»?

Применяйте svd(), qr() и chol() для снижения размерности и факторизации Ты практикуешь R Academy с помощью реального кода, который запускаешь прямо в браузере, и ИИ-репетитор 24/7 отвечает на твои вопросы во время урока.

Нужен ли мне опыт, чтобы начать R Academy?

Предыдущий опыт не требуется. R Academy на CoddyKit структурирован для всех уровней — от новичков до продвинутых, поэтому ты можешь начать отсюда или с самого начала и учиться в своем темпе. Это урок 4 из 4.

Сколько времени занимает урок «Разложения SVD, QR и Холецкого»?

Большинство уроков CoddyKit занимают около 5–10 минут. Каждый из них компактный и интерактивный, поэтому ты постоянно делаешь прогресс и продолжаешь с того же места в веб-версии и приложении.

Можно ли писать и запускать код в этом уроке R Academy?

Да. Каждый урок R Academy включает встроенный редактор кода, поэтому ты пишешь и запускаешь реальный код прямо в браузере и получаешь моментальную обратную связь от AI — локальная установка не требуется.

Все уроки этого курса

  1. Умножение матриц и определители
  2. Решение систем линейных уравнений с помощью solve()
  3. Собственные значения и собственные векторы
  4. Разложения SVD, QR и Холецкого
← Назад к R Academy