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SVD、QR 与 Cholesky 分解

Q: 「SVD、QR 与 Cholesky 分解」这节课中我会学到什么？

使用 svd()、qr() 和 chol() 进行降维与因子分解 你通过在浏览器中直接运行的动手代码来练习 R Academy，全天候 AI 导师会在你学习这节课的过程中回答你的问题。

使用 svd()、qr() 和 chol() 进行降维与因子分解

SVD、QR 与 Cholesky 分解 是 CoddyKit 上的免费 R Academy 课时。这是第 4 节课，共 4 节。你可以在下方免费阅读本课时的完整内容 — 然后在浏览器中使用内置代码编辑器和全天候 AI 导师进行实践。这是 R Academy 学习路径的一部分，你的进度在网页和 CoddyKit 应用中同步。 R Academy 课程共包含 4 节课。

为什么需要矩阵分解？

矩阵分解将 A 分解为多个更简单矩阵的乘积。它们揭示隐藏结构（秩、条件性），支持高效计算，并且是统计学和机器学习中 PCA、回归及优化的基础。

# Three fundamental decompositions:
# 1. SVD: A = U D V'  (any matrix)
# 2. QR:  A = Q R    (any matrix)
# 3. Cholesky: A = L L'  (symmetric positive definite)

# Each serves a purpose:
# SVD -> PCA, pseudoinverse, rank, image compression
# QR  -> linear regression, Gram-Schmidt, eigenvalues
# Cholesky -> fast solve for SPD systems, simulation

A <- matrix(c(4, 3, 2,
              3, 6, 1,
              2, 1, 5), nrow = 3, byrow = TRUE)
cat('Matrix ready for decomposition')
print(A)

SVD：svd() 函数

奇异值分解（SVD）可以将任意 m×n 矩阵分解为 A = U D V'，其中 U 和 V 是正交矩阵，D 是对角矩阵，其奇异值为非负数并按降序排列。

A <- matrix(c(1, 2, 3,
              4, 5, 6), nrow = 2, byrow = TRUE)

# Compute SVD
svd_result <- svd(A)

# Components:
svd_result$d  # singular values (decreasing)
svd_result$u  # left singular vectors  (2x2)
svd_result$v  # right singular vectors (3x2)

cat('Singular values:', svd_result$d, '\n')
cat('Rank of A:', sum(svd_result$d > 1e-10), '\n')

SVD 重构

通过 SVD 按 A = U %*% diag(d) %*% t(V) 重构 A。低秩近似只保留前 k 个奇异值和奇异向量，这是图像压缩和噪声降低的基础。

A <- matrix(c(1, 2, 3,
              4, 5, 6,
              7, 8, 9), nrow = 3, byrow = TRUE)

res <- svd(A)
U <- res$u; d <- res$d; V <- res$v

# Full reconstruction: A = U diag(d) V'
A_reconstructed <- U %*% diag(d) %*% t(V)
all.equal(A, A_reconstructed)  # TRUE

# Rank-1 approximation (best rank-1 approx by Eckart-Young)
A_rank1 <- d[1] * U[, 1] %*% t(V[, 1])
print(round(A_rank1, 2))

# Frobenius error of rank-1 approx
sqrt(sum((A - A_rank1)^2))

SVD：伪逆与秩

SVD 给出伪逆 A⁺ = V D⁺ U'，其中 D⁺ 将每个非零奇异值替换为其倒数。即使 A 不是方阵或不是满秩矩阵，它也能以最小二乘意义求解 Ax = b。

A <- matrix(c(1, 2, 3,
              4, 5, 6), nrow = 2, byrow = TRUE)

# Pseudoinverse via SVD
svd_res <- svd(A)
tol <- 1e-10
# Invert nonzero singular values
d_inv <- ifelse(svd_res$d > tol, 1/svd_res$d, 0)
A_pinv <- svd_res$v %*% diag(d_inv) %*% t(svd_res$u)
print(A_pinv)  # 3x2 pseudoinverse

# Least-squares solution: x = A+ b
b <- c(7, 8)
x_ls <- A_pinv %*% b
print(x_ls)

# Compare with MASS::ginv
# MASS::ginv(A) should give the same result

QR 分解：qr()

QR 分解将 A 分解为 A = QR，其中 Q 是正交矩阵（Q'Q = I），R 是上三角矩阵。它用于线性回归、计算特征值（QR 算法）以及 Gram-Schmidt 正交化。

A <- matrix(c(1, 2,
              3, 4,
              5, 6), nrow = 3, byrow = TRUE)

# Compute QR decomposition
qr_res <- qr(A)

# Extract Q and R
Q <- qr.Q(qr_res)  # 3x2 orthogonal
R <- qr.R(qr_res)  # 2x2 upper triangular

cat('Q is orthogonal: Q\'Q = I\n')
print(round(t(Q) %*% Q, 10))  # Identity

cat('R is upper triangular:\n')
print(round(R, 6))

# Reconstruct A = Q %*% R
all.equal(A, Q %*% R)  # TRUE

用于回归的 QR 分解

通过 QR 求解线性回归正规方程在数值上更优。由于 Q'Q = I，正规方程 A'Ax = A'b 可写为 R'Q'QRx = R'Q'b，进而简化为 Rx = Q'b，再通过回代求解。

# Generate regression data
set.seed(7)
n <- 20
x1 <- rnorm(n); x2 <- rnorm(n)
y <- 1 + 2*x1 - 0.5*x2 + rnorm(n, sd = 0.5)

# Design matrix
X <- cbind(intercept = 1, x1 = x1, x2 = x2)

# QR solve: numerically stable
beta_qr <- qr.solve(X, y)
print(beta_qr)  # ~c(1, 2, -0.5)

# Compare with lm()
beta_lm <- coef(lm(y ~ x1 + x2))
all.equal(beta_qr, beta_lm, check.names = FALSE)  # TRUE

# The qr.solve internals use backsolve on R
cat('QR regression is lm()\'s default method')

Cholesky 分解：chol()

Cholesky 分解将对称正定矩阵分解为 A = L L'，其中 L 是下三角矩阵。R 的 chol() 返回上三角因子 U（因此 A = t(U) %*% U）。

# Symmetric positive definite matrix
A <- matrix(c(4, 2,
              2, 3), nrow = 2, byrow = TRUE)

# Cholesky decomposition: A = t(U) %*% U
U <- chol(A)
print(U)
# Note: chol() returns UPPER triangular in R

# Reconstruct
all.equal(A, t(U) %*% U)  # TRUE

# Attempting Cholesky on non-PD matrix throws error
# Catch it:
result <- tryCatch(
  chol(matrix(c(1, 3, 3, 2), nrow = 2)),
  error = function(e) cat('Error:', e$message)
)

使用 Cholesky 求解

对于对称正定系统（例如协方差矩阵），基于 Cholesky 的求解速度是 LU 的两倍。使用 chol2inv() 计算逆矩阵，或者使用 Cholesky 因子配合 backsolve/forwardsolve 进行求解。

# SPD system: typical in statistics (covariance matrices)
set.seed(1)
X <- matrix(rnorm(30), nrow = 10, ncol = 3)
A <- crossprod(X)  # X'X is always SPD
b <- c(1, 2, 3)

# Cholesky factor
U <- chol(A)  # Upper triangular

# Solve A x = b using two triangular solves
# A = t(U) %*% U -> solve t(U) y = b, then U x = y
y <- forwardsolve(t(U), b)
x <- backsolve(U, y)
print(x)

# Verify
all.equal(as.vector(A %*% x), b)

# Or: inverse via chol2inv
A_inv <- chol2inv(U)
all.equal(x, as.vector(A_inv %*% b))

PCA 中的 SVD

通过 SVD 进行 PCA：先将数据矩阵 X 中心化，然后对中心化后的 X 计算 SVD。右奇异向量 V 是主成分方向；奇异值 d 与解释方差有关（d²/(n-1)）。

set.seed(42)
n <- 50; p <- 3
X <- matrix(rnorm(n * p), nrow = n)
# Add correlation
X[, 2] <- 0.8 * X[, 1] + 0.6 * X[, 2]

# Center
X_c <- scale(X, center = TRUE, scale = FALSE)

# SVD of centered data
svd_res <- svd(X_c)

# Variance explained by each PC
var_explained <- svd_res$d^2 / (n - 1)
prop_var <- var_explained / sum(var_explained)
cat('Proportion of variance explained:\n')
print(round(prop_var, 3))

# Compare with prcomp
pc <- prcomp(X)
all.equal(prop_var, pc$sdev^2 / sum(pc$sdev^2))

通过 SVD 计算矩阵秩

矩阵的秩等于不可忽略的奇异值数量。SVD 提供了数值上最可靠的秩确定方法——只需统计大于阈值的 d 值（通常为 max(d) * tol）。

# Full-rank matrix (rank 3)
A <- matrix(c(1, 0, 0,
              0, 2, 0,
              0, 0, 3), nrow = 3)
svd(A)$d  # c(3, 2, 1) - all nonzero -> rank 3

# Rank-deficient matrix (rank 2)
B <- matrix(c(1, 2, 3,
              2, 4, 6,   # row 2 = 2 * row 1
              0, 1, 1), nrow = 3, byrow = TRUE)
svd(B)$d  # Third value is ~0

# Rank function using SVD
matrix_rank <- function(M, tol = 1e-10) {
  d <- svd(M)$d
  sum(d > tol * d[1])  # relative tolerance
}
matrix_rank(B)  # 2

使用 Cholesky 对多元正态分布进行抽样

要从多元正态分布 N(μ, Σ) 中抽样，请计算 Σ 的 Cholesky 因子 U，然后变换标准正态变量：X = μ + Z %*% U。这就是 MASS::mvrnorm() 在内部的工作方式。

set.seed(99)
# Covariance matrix
Sigma <- matrix(c(4, 2,
                  2, 3), nrow = 2)
mu <- c(1, 5)
n_samples <- 500

# Cholesky factor
U <- chol(Sigma)

# Sample standard normals
Z <- matrix(rnorm(n_samples * 2), nrow = n_samples)

# Transform: X ~ N(mu, Sigma)
X <- sweep(Z %*% U, 2, mu, FUN = '+')

# Check empirical covariance
print(round(cov(X), 2))  # Should be close to Sigma
print(round(colMeans(X), 2))  # Should be close to mu

快速检查

请测试您对 R 中 SVD、QR 和 Cholesky 分解的理解。

回顾：SVD、QR 和 Cholesky

要点：SVD（svd()）返回 d、u、v，可用于 PCA、秩、伪逆和低秩近似。QR（qr()）返回正交矩阵 Q 和上三角矩阵 R，可用于回归和提高稳定性。Cholesky（chol()）返回上三角矩阵 U，满足 A = t(U)%*%U，是求解 SPD 系统最快的方法。它们都能精确重构 A，但各自适用于不同的计算任务。

A <- matrix(c(4, 2, 2, 3), nrow = 2)

# SVD
res <- svd(A)
all.equal(A, res$u %*% diag(res$d) %*% t(res$v))  # TRUE

# QR (on a design matrix)
X <- cbind(1, c(1,2,3,4,5))
qr_res <- qr(X)
all.equal(X, qr.Q(qr_res) %*% qr.R(qr_res))  # TRUE

# Cholesky
U <- chol(A)
all.equal(A, t(U) %*% U)  # TRUE

# Use cases:
# svd() -> PCA, rank, pseudoinverse
# qr()  -> regression, stability
# chol()-> SPD solve, MVN sampling

常见问题解答

「SVD、QR 与 Cholesky 分解」课时是免费的吗？

是的 — 「SVD、QR 与 Cholesky 分解」的完整文本可在网页上免费阅读。要进行交互式练习（内置代码编辑器和全天候 AI 导师）并解锁 R Academy 课程的其余内容，请升级到 CoddyKit PRO。 R Academy 课程共包含 4 节课。

「SVD、QR 与 Cholesky 分解」这节课中我会学到什么？

使用 svd()、qr() 和 chol() 进行降维与因子分解你通过在浏览器中直接运行的动手代码来练习 R Academy，全天候 AI 导师会在你学习这节课的过程中回答你的问题。

学习 R Academy 需要有经验吗？

无需任何先前经验。CoddyKit 上的 R Academy 课程适合初学者到高级学习者，你可以从这里开始或从头开始，按照自己的节奏学习。这是第 4 节课，共 4 节。

「SVD、QR 与 Cholesky 分解」课时需要多长时间？

大多数 CoddyKit 课程大约需要 5–10 分钟。每节课都很精短且互动，所以你能稳步进步，并在网页和应用中从离开的地方继续。

我能在这节 R Academy 课中编写并运行代码吗？

能。每节 R Academy 课都包含内置代码编辑器，你可以在浏览器中直接编写并运行真实代码，并获得即时 AI 反馈 — 无需本地设置。

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