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R Academy · Lezione

Decomposizioni SVD, QR e di Cholesky

Applichi svd(), qr() e chol() per la riduzione della dimensionalità e la fattorizzazione

Decomposizioni SVD, QR e di Cholesky è una lezione R Academy gratuita su CoddyKit. Questa è la lezione 4 di 4. Puoi leggere la lezione completa qui gratuitamente — poi esercitati direttamente nel browser con un editor di codice integrato e un tutor IA disponibile 24/7. Fa parte del percorso di apprendimento R Academy, e i tuoi progressi si sincronizzano tra il web e l'app CoddyKit. Il corso R Academy include 4 lezioni in totale.

Perché utilizzare le decomposizioni di matrici?

Le decomposizioni di matrici scompongono A in prodotti di matrici più semplici. Rivelano la struttura nascosta (rango, condizionamento), consentono calcoli efficienti e sono alla base della PCA, della regressione e dell'ottimizzazione in statistica e nell'apprendimento automatico.

# Three fundamental decompositions:
# 1. SVD: A = U D V'  (any matrix)
# 2. QR:  A = Q R    (any matrix)
# 3. Cholesky: A = L L'  (symmetric positive definite)

# Each serves a purpose:
# SVD -> PCA, pseudoinverse, rank, image compression
# QR  -> linear regression, Gram-Schmidt, eigenvalues
# Cholesky -> fast solve for SPD systems, simulation

A <- matrix(c(4, 3, 2,
              3, 6, 1,
              2, 1, 5), nrow = 3, byrow = TRUE)
cat('Matrix ready for decomposition')
print(A)

SVD: funzione svd()

La decomposizione ai valori singolari (SVD) fattorizza qualsiasi matrice m×n A = U D V', dove U e V sono ortogonali e D è diagonale, con valori singolari non negativi in ordine decrescente.

A <- matrix(c(1, 2, 3,
              4, 5, 6), nrow = 2, byrow = TRUE)

# Compute SVD
svd_result <- svd(A)

# Components:
svd_result$d  # singular values (decreasing)
svd_result$u  # left singular vectors  (2x2)
svd_result$v  # right singular vectors (3x2)

cat('Singular values:', svd_result$d, '\n')
cat('Rank of A:', sum(svd_result$d > 1e-10), '\n')

Ricostruzione tramite SVD

Ricostruisca A dalla SVD come A = U %*% diag(d) %*% t(V). Le approssimazioni a basso rango mantengono solo i primi k valori singolari e i relativi vettori: questa è la base della compressione delle immagini e della riduzione del rumore.

A <- matrix(c(1, 2, 3,
              4, 5, 6,
              7, 8, 9), nrow = 3, byrow = TRUE)

res <- svd(A)
U <- res$u; d <- res$d; V <- res$v

# Full reconstruction: A = U diag(d) V'
A_reconstructed <- U %*% diag(d) %*% t(V)
all.equal(A, A_reconstructed)  # TRUE

# Rank-1 approximation (best rank-1 approx by Eckart-Young)
A_rank1 <- d[1] * U[, 1] %*% t(V[, 1])
print(round(A_rank1, 2))

# Frobenius error of rank-1 approx
sqrt(sum((A - A_rank1)^2))

SVD: pseudoinversa e rango

La SVD fornisce la pseudoinversa A⁺ = V D⁺ U', dove D⁺ sostituisce ogni valore singolare non nullo con il suo reciproco. Risolve Ax = b nel senso dei minimi quadrati anche quando A non è quadrata o non ha rango pieno.

A <- matrix(c(1, 2, 3,
              4, 5, 6), nrow = 2, byrow = TRUE)

# Pseudoinverse via SVD
svd_res <- svd(A)
tol <- 1e-10
# Invert nonzero singular values
d_inv <- ifelse(svd_res$d > tol, 1/svd_res$d, 0)
A_pinv <- svd_res$v %*% diag(d_inv) %*% t(svd_res$u)
print(A_pinv)  # 3x2 pseudoinverse

# Least-squares solution: x = A+ b
b <- c(7, 8)
x_ls <- A_pinv %*% b
print(x_ls)

# Compare with MASS::ginv
# MASS::ginv(A) should give the same result

Decomposizione QR: qr()

La decomposizione QR fattorizza A = QR, dove Q è ortogonale (Q'Q = I) e R è triangolare superiore. Viene utilizzata nella regressione lineare, nel calcolo degli autovalori (algoritmo QR) e nell'ortonormalizzazione di Gram-Schmidt.

A <- matrix(c(1, 2,
              3, 4,
              5, 6), nrow = 3, byrow = TRUE)

# Compute QR decomposition
qr_res <- qr(A)

# Extract Q and R
Q <- qr.Q(qr_res)  # 3x2 orthogonal
R <- qr.R(qr_res)  # 2x2 upper triangular

cat('Q is orthogonal: Q\'Q = I\n')
print(round(t(Q) %*% Q, 10))  # Identity

cat('R is upper triangular:\n')
print(round(R, 6))

# Reconstruct A = Q %*% R
all.equal(A, Q %*% R)  # TRUE

QR per la regressione

Risolvere le equazioni normali della regressione lineare tramite QR è numericamente più vantaggioso. Poiché Q'Q = I, le equazioni normali A'Ax = A'b diventano R'Q'QRx = R'Q'b e si semplificano in Rx = Q'b, che viene risolta mediante sostituzione all'indietro.

# Generate regression data
set.seed(7)
n <- 20
x1 <- rnorm(n); x2 <- rnorm(n)
y <- 1 + 2*x1 - 0.5*x2 + rnorm(n, sd = 0.5)

# Design matrix
X <- cbind(intercept = 1, x1 = x1, x2 = x2)

# QR solve: numerically stable
beta_qr <- qr.solve(X, y)
print(beta_qr)  # ~c(1, 2, -0.5)

# Compare with lm()
beta_lm <- coef(lm(y ~ x1 + x2))
all.equal(beta_qr, beta_lm, check.names = FALSE)  # TRUE

# The qr.solve internals use backsolve on R
cat('QR regression is lm()\'s default method')

Decomposizione di Cholesky: chol()

La decomposizione di Cholesky fattorizza una matrice simmetrica definita positiva A = L L', dove L è triangolare inferiore. chol() di R restituisce il fattore triangolare superiore U (quindi A = t(U) %*% U).

# Symmetric positive definite matrix
A <- matrix(c(4, 2,
              2, 3), nrow = 2, byrow = TRUE)

# Cholesky decomposition: A = t(U) %*% U
U <- chol(A)
print(U)
# Note: chol() returns UPPER triangular in R

# Reconstruct
all.equal(A, t(U) %*% U)  # TRUE

# Attempting Cholesky on non-PD matrix throws error
# Catch it:
result <- tryCatch(
  chol(matrix(c(1, 3, 3, 2), nrow = 2)),
  error = function(e) cat('Error:', e$message)
)

Risoluzione tramite Cholesky

Per i sistemi simmetrici definiti positivi (come quelli con matrici di covarianza), la risoluzione basata su Cholesky è due volte più veloce di quella basata su LU. Utilizzi chol2inv() per calcolare l'inversa oppure usi backsolve/forwardsolve con il fattore di Cholesky.

# SPD system: typical in statistics (covariance matrices)
set.seed(1)
X <- matrix(rnorm(30), nrow = 10, ncol = 3)
A <- crossprod(X)  # X'X is always SPD
b <- c(1, 2, 3)

# Cholesky factor
U <- chol(A)  # Upper triangular

# Solve A x = b using two triangular solves
# A = t(U) %*% U -> solve t(U) y = b, then U x = y
y <- forwardsolve(t(U), b)
x <- backsolve(U, y)
print(x)

# Verify
all.equal(as.vector(A %*% x), b)

# Or: inverse via chol2inv
A_inv <- chol2inv(U)
all.equal(x, as.vector(A_inv %*% b))

SVD nella PCA

PCA tramite SVD: centri la matrice dei dati X, quindi calcoli la SVD di X centrata. I vettori singolari destri V sono le direzioni delle componenti principali; i valori singolari d sono correlati alla varianza spiegata (d²/(n-1)).

set.seed(42)
n <- 50; p <- 3
X <- matrix(rnorm(n * p), nrow = n)
# Add correlation
X[, 2] <- 0.8 * X[, 1] + 0.6 * X[, 2]

# Center
X_c <- scale(X, center = TRUE, scale = FALSE)

# SVD of centered data
svd_res <- svd(X_c)

# Variance explained by each PC
var_explained <- svd_res$d^2 / (n - 1)
prop_var <- var_explained / sum(var_explained)
cat('Proportion of variance explained:\n')
print(round(prop_var, 3))

# Compare with prcomp
pc <- prcomp(X)
all.equal(prop_var, pc$sdev^2 / sum(pc$sdev^2))

Rango della matrice tramite SVD

Il rango di una matrice è uguale al numero di valori singolari non trascurabili. La SVD offre il metodo numericamente più affidabile per determinare il rango: basta contare i valori d superiori a una soglia (in genere max(d) * tol).

# Full-rank matrix (rank 3)
A <- matrix(c(1, 0, 0,
              0, 2, 0,
              0, 0, 3), nrow = 3)
svd(A)$d  # c(3, 2, 1) - all nonzero -> rank 3

# Rank-deficient matrix (rank 2)
B <- matrix(c(1, 2, 3,
              2, 4, 6,   # row 2 = 2 * row 1
              0, 1, 1), nrow = 3, byrow = TRUE)
svd(B)$d  # Third value is ~0

# Rank function using SVD
matrix_rank <- function(M, tol = 1e-10) {
  d <- svd(M)$d
  sum(d > tol * d[1])  # relative tolerance
}
matrix_rank(B)  # 2

Cholesky per il campionamento normale multivariato

Per campionare da una distribuzione normale multivariata N(μ, Σ), calcoli il fattore di Cholesky U di Σ, quindi trasformi le normali standard: X = μ + Z %*% U. È così che MASS::mvrnorm() opera internamente.

set.seed(99)
# Covariance matrix
Sigma <- matrix(c(4, 2,
                  2, 3), nrow = 2)
mu <- c(1, 5)
n_samples <- 500

# Cholesky factor
U <- chol(Sigma)

# Sample standard normals
Z <- matrix(rnorm(n_samples * 2), nrow = n_samples)

# Transform: X ~ N(mu, Sigma)
X <- sweep(Z %*% U, 2, mu, FUN = '+')

# Check empirical covariance
print(round(cov(X), 2))  # Should be close to Sigma
print(round(colMeans(X), 2))  # Should be close to mu

Verifica rapida

Verifichi la Sua comprensione delle decomposizioni SVD, QR e di Cholesky in R.

Riepilogo: SVD, QR e Cholesky

Punti fondamentali: la SVD (svd()) restituisce d, u, v ed è utilizzata per PCA, rango, pseudoinversa e approssimazioni a basso rango. La QR (qr()) restituisce una Q ortogonale e una R triangolare superiore ed è utilizzata per la regressione e la stabilità numerica. Cholesky (chol()) restituisce la matrice triangolare superiore U, dove A = t(U)%*%U, ed è il metodo più veloce per i sistemi SPD. Tutte consentono di ricostruire A esattamente e hanno scopi computazionali diversi.

A <- matrix(c(4, 2, 2, 3), nrow = 2)

# SVD
res <- svd(A)
all.equal(A, res$u %*% diag(res$d) %*% t(res$v))  # TRUE

# QR (on a design matrix)
X <- cbind(1, c(1,2,3,4,5))
qr_res <- qr(X)
all.equal(X, qr.Q(qr_res) %*% qr.R(qr_res))  # TRUE

# Cholesky
U <- chol(A)
all.equal(A, t(U) %*% U)  # TRUE

# Use cases:
# svd() -> PCA, rank, pseudoinverse
# qr()  -> regression, stability
# chol()-> SPD solve, MVN sampling

Domande Frequenti

La lezione «Decomposizioni SVD, QR e di Cholesky» è gratuita?

Sì — il testo completo di «Decomposizioni SVD, QR e di Cholesky» è gratuito qui sul web. Per esercitarvi in modo interattivo (un editor di codice integrato e un tutor IA 24/7) e sbloccare il resto del corso R Academy, passa a CoddyKit PRO. Il corso R Academy include 4 lezioni in totale.

Cosa imparerò in «Decomposizioni SVD, QR e di Cholesky»?

Applichi svd(), qr() e chol() per la riduzione della dimensionalità e la fattorizzazione Eserciti R Academy con codice pratico che esegui direttamente nel browser, e un tutor IA 24/7 risponde alle tue domande mentre lavori sulla lezione.

Ho bisogno di esperienza per iniziare R Academy?

Non è richiesta alcuna esperienza precedente. R Academy su CoddyKit è strutturato per principianti e studenti avanzati, quindi puoi iniziare da qui o dall'inizio e procedere al tuo ritmo. Questa è la lezione 4 di 4.

Quanto tempo richiede la lezione «Decomposizioni SVD, QR e di Cholesky»?

La maggior parte delle lezioni CoddyKit richiede circa 5–10 minuti. Ogni lezione è breve e interattiva, quindi fai progressi costanti e riprendi esattamente da dove hai lasciato su web e app.

Posso scrivere ed eseguire codice in questa lezione R Academy?

Sì. Ogni lezione R Academy include un editor di codice integrato, quindi scrivi ed esegui codice reale direttamente nel tuo browser e ricevi feedback istantaneo dall'IA — nessuna configurazione locale necessaria.

Tutte le lezioni di questo corso

  1. Moltiplicazione di matrici e determinanti
  2. Risoluzione di sistemi lineari con solve()
  3. Autovalori e autovettori
  4. Decomposizioni SVD, QR e di Cholesky
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