0Pricing
R Academy · Lekcja

Rozkłady SVD, QR i Cholesky’ego

Zastosuj svd(), qr() i chol() do redukcji wymiarowości i faktoryzacji.

Rozkłady SVD, QR i Cholesky’ego to bezpłatna lekcja R Academy na CoddyKit. To lekcja 4 z 4. Możesz przeczytać całą lekcję poniżej za darmo — a potem ćwiczyć ją interaktywnie w przeglądarce z wbudowanym edytorem kodu i tutorem AI dostępnym 24/7. To część ścieżki edukacyjnej R Academy, a Twój postęp synchronizuje się między webem a aplikacją CoddyKit. Kurs R Academy zawiera 4 lekcji w sumie.

Dlaczego stosuje się rozkłady macierzy?

Rozkłady macierzy przedstawiają A jako iloczyn prostszych macierzy. Ujawniają ukrytą strukturę (rangę, uwarunkowanie), umożliwiają wydajne obliczenia i stanowią podstawę PCA, regresji oraz optymalizacji w statystyce i uczeniu maszynowym.

# Three fundamental decompositions:
# 1. SVD: A = U D V'  (any matrix)
# 2. QR:  A = Q R    (any matrix)
# 3. Cholesky: A = L L'  (symmetric positive definite)

# Each serves a purpose:
# SVD -> PCA, pseudoinverse, rank, image compression
# QR  -> linear regression, Gram-Schmidt, eigenvalues
# Cholesky -> fast solve for SPD systems, simulation

A <- matrix(c(4, 3, 2,
              3, 6, 1,
              2, 1, 5), nrow = 3, byrow = TRUE)
cat('Matrix ready for decomposition')
print(A)

SVD: funkcja svd()

Rozkład według wartości osobliwych (SVD) rozkłada dowolną macierz m×n A = U D V', gdzie U i V są ortogonalne, a D jest diagonalna i zawiera nieujemne wartości osobliwe w kolejności malejącej.

A <- matrix(c(1, 2, 3,
              4, 5, 6), nrow = 2, byrow = TRUE)

# Compute SVD
svd_result <- svd(A)

# Components:
svd_result$d  # singular values (decreasing)
svd_result$u  # left singular vectors  (2x2)
svd_result$v  # right singular vectors (3x2)

cat('Singular values:', svd_result$d, '\n')
cat('Rank of A:', sum(svd_result$d > 1e-10), '\n')

Odtwarzanie macierzy za pomocą SVD

Odtwórz A z rozkładu SVD jako A = U %*% diag(d) %*% t(V). Przybliżenia niskiego rzędu zachowują tylko k największych wartości osobliwych i odpowiadających im wektorów — stanowi to podstawę kompresji obrazów i redukcji szumu.

A <- matrix(c(1, 2, 3,
              4, 5, 6,
              7, 8, 9), nrow = 3, byrow = TRUE)

res <- svd(A)
U <- res$u; d <- res$d; V <- res$v

# Full reconstruction: A = U diag(d) V'
A_reconstructed <- U %*% diag(d) %*% t(V)
all.equal(A, A_reconstructed)  # TRUE

# Rank-1 approximation (best rank-1 approx by Eckart-Young)
A_rank1 <- d[1] * U[, 1] %*% t(V[, 1])
print(round(A_rank1, 2))

# Frobenius error of rank-1 approx
sqrt(sum((A - A_rank1)^2))

SVD: pseudoodwrotność i ranga

Rozkład SVD daje pseudoodwrotność A⁺ = V D⁺ U', gdzie D⁺ zastępuje każdą niezerową wartość osobliwą jej odwrotnością. Umożliwia on rozwiązanie Ax = b metodą najmniejszych kwadratów, nawet gdy A nie jest macierzą kwadratową lub ma pełnej rangi.

A <- matrix(c(1, 2, 3,
              4, 5, 6), nrow = 2, byrow = TRUE)

# Pseudoinverse via SVD
svd_res <- svd(A)
tol <- 1e-10
# Invert nonzero singular values
d_inv <- ifelse(svd_res$d > tol, 1/svd_res$d, 0)
A_pinv <- svd_res$v %*% diag(d_inv) %*% t(svd_res$u)
print(A_pinv)  # 3x2 pseudoinverse

# Least-squares solution: x = A+ b
b <- c(7, 8)
x_ls <- A_pinv %*% b
print(x_ls)

# Compare with MASS::ginv
# MASS::ginv(A) should give the same result

Rozkład QR: qr()

Rozkład QR przedstawia A = QR, gdzie Q jest ortogonalna (Q'Q = I), a R jest macierzą trójkątną górną. Stosuje się go w regresji liniowej, przy obliczaniu wartości własnych (algorytm QR) oraz ortogonalizacji Grama-Schmidta.

A <- matrix(c(1, 2,
              3, 4,
              5, 6), nrow = 3, byrow = TRUE)

# Compute QR decomposition
qr_res <- qr(A)

# Extract Q and R
Q <- qr.Q(qr_res)  # 3x2 orthogonal
R <- qr.R(qr_res)  # 2x2 upper triangular

cat('Q is orthogonal: Q\'Q = I\n')
print(round(t(Q) %*% Q, 10))  # Identity

cat('R is upper triangular:\n')
print(round(R, 6))

# Reconstruct A = Q %*% R
all.equal(A, Q %*% R)  # TRUE

QR w regresji

Rozwiązywanie równań normalnych regresji liniowej za pomocą QR jest numerycznie lepsze. Ponieważ Q'Q = I, równania normalne A'Ax = A'b przyjmują postać R'Q'QRx = R'Q'b, która upraszcza się do Rx = Q'b; to równanie rozwiązuje się przez podstawianie wsteczne.

# Generate regression data
set.seed(7)
n <- 20
x1 <- rnorm(n); x2 <- rnorm(n)
y <- 1 + 2*x1 - 0.5*x2 + rnorm(n, sd = 0.5)

# Design matrix
X <- cbind(intercept = 1, x1 = x1, x2 = x2)

# QR solve: numerically stable
beta_qr <- qr.solve(X, y)
print(beta_qr)  # ~c(1, 2, -0.5)

# Compare with lm()
beta_lm <- coef(lm(y ~ x1 + x2))
all.equal(beta_qr, beta_lm, check.names = FALSE)  # TRUE

# The qr.solve internals use backsolve on R
cat('QR regression is lm()\'s default method')

Rozkład Cholesky’ego: chol()

Rozkład Cholesky’ego przedstawia symetryczną macierz dodatnio określoną jako A = L L', gdzie L jest macierzą trójkątną dolną. Funkcja chol() w R zwraca czynnik trójkątny górny U, tak że A = t(U) %*% U.

# Symmetric positive definite matrix
A <- matrix(c(4, 2,
              2, 3), nrow = 2, byrow = TRUE)

# Cholesky decomposition: A = t(U) %*% U
U <- chol(A)
print(U)
# Note: chol() returns UPPER triangular in R

# Reconstruct
all.equal(A, t(U) %*% U)  # TRUE

# Attempting Cholesky on non-PD matrix throws error
# Catch it:
result <- tryCatch(
  chol(matrix(c(1, 3, 3, 2), nrow = 2)),
  error = function(e) cat('Error:', e$message)
)

Rozwiązywanie za pomocą rozkładu Cholesky’ego

W przypadku symetrycznych macierzy dodatnio określonych (takich jak macierze kowariancji) rozwiązywanie z użyciem rozkładu Cholesky’ego jest dwukrotnie szybsze niż z użyciem LU. Użyj chol2inv(), aby obliczyć macierz odwrotną, albo użyj backsolve/forwardsolve wraz z czynnikiem Cholesky’ego.

# SPD system: typical in statistics (covariance matrices)
set.seed(1)
X <- matrix(rnorm(30), nrow = 10, ncol = 3)
A <- crossprod(X)  # X'X is always SPD
b <- c(1, 2, 3)

# Cholesky factor
U <- chol(A)  # Upper triangular

# Solve A x = b using two triangular solves
# A = t(U) %*% U -> solve t(U) y = b, then U x = y
y <- forwardsolve(t(U), b)
x <- backsolve(U, y)
print(x)

# Verify
all.equal(as.vector(A %*% x), b)

# Or: inverse via chol2inv
A_inv <- chol2inv(U)
all.equal(x, as.vector(A_inv %*% b))

SVD w PCA

PCA za pomocą SVD: wyśrodkuj macierz danych X, a następnie oblicz SVD wyśrodkowanej macierzy X. Prawe wektory osobliwe V są kierunkami głównych składowych, a wartości osobliwe d są powiązane z wyjaśnioną wariancją (d²/(n-1)).

set.seed(42)
n <- 50; p <- 3
X <- matrix(rnorm(n * p), nrow = n)
# Add correlation
X[, 2] <- 0.8 * X[, 1] + 0.6 * X[, 2]

# Center
X_c <- scale(X, center = TRUE, scale = FALSE)

# SVD of centered data
svd_res <- svd(X_c)

# Variance explained by each PC
var_explained <- svd_res$d^2 / (n - 1)
prop_var <- var_explained / sum(var_explained)
cat('Proportion of variance explained:\n')
print(round(prop_var, 3))

# Compare with prcomp
pc <- prcomp(X)
all.equal(prop_var, pc$sdev^2 / sum(pc$sdev^2))

Ranga macierzy za pomocą SVD

Ranga macierzy jest równa liczbie istotnych wartości osobliwych. SVD zapewnia najbardziej wiarygodny numerycznie sposób wyznaczania rangi — wystarczy policzyć wartości d większe od ustalonego progu (zwykle max(d) * tol).

# Full-rank matrix (rank 3)
A <- matrix(c(1, 0, 0,
              0, 2, 0,
              0, 0, 3), nrow = 3)
svd(A)$d  # c(3, 2, 1) - all nonzero -> rank 3

# Rank-deficient matrix (rank 2)
B <- matrix(c(1, 2, 3,
              2, 4, 6,   # row 2 = 2 * row 1
              0, 1, 1), nrow = 3, byrow = TRUE)
svd(B)$d  # Third value is ~0

# Rank function using SVD
matrix_rank <- function(M, tol = 1e-10) {
  d <- svd(M)$d
  sum(d > tol * d[1])  # relative tolerance
}
matrix_rank(B)  # 2

Rozkład Cholesky’ego przy losowaniu z wielowymiarowego rozkładu normalnego

Aby losować z wielowymiarowego rozkładu normalnego N(μ, Σ), oblicz czynnik Cholesky’ego U macierzy Σ, a następnie przekształć standardowe liczby losowe o rozkładzie normalnym: X = μ + Z %*% U. Właśnie tak wewnętrznie działa MASS::mvrnorm().

set.seed(99)
# Covariance matrix
Sigma <- matrix(c(4, 2,
                  2, 3), nrow = 2)
mu <- c(1, 5)
n_samples <- 500

# Cholesky factor
U <- chol(Sigma)

# Sample standard normals
Z <- matrix(rnorm(n_samples * 2), nrow = n_samples)

# Transform: X ~ N(mu, Sigma)
X <- sweep(Z %*% U, 2, mu, FUN = '+')

# Check empirical covariance
print(round(cov(X), 2))  # Should be close to Sigma
print(round(colMeans(X), 2))  # Should be close to mu

Szybkie sprawdzenie

Sprawdź swoją znajomość rozkładów SVD, QR i Cholesky’ego w R.

Podsumowanie: SVD, QR i rozkład Cholesky’ego

Najważniejsze informacje: SVD (svd()) zwraca d, u i v — jest używany w PCA, do wyznaczania rangi, pseudoodwrotności i przybliżeń niskiego rzędu. QR (qr()) zwraca ortogonalną macierz Q i trójkątną górną macierz R — stosuje się go w regresji i do zwiększania stabilności obliczeń. Cholesky (chol()) zwraca trójkątną górną macierz U, dla której A = t(U)%*%U — jest najszybszy dla układów SPD. Wszystkie te rozkłady umożliwiają dokładne odtworzenie A i służą różnym celom obliczeniowym.

A <- matrix(c(4, 2, 2, 3), nrow = 2)

# SVD
res <- svd(A)
all.equal(A, res$u %*% diag(res$d) %*% t(res$v))  # TRUE

# QR (on a design matrix)
X <- cbind(1, c(1,2,3,4,5))
qr_res <- qr(X)
all.equal(X, qr.Q(qr_res) %*% qr.R(qr_res))  # TRUE

# Cholesky
U <- chol(A)
all.equal(A, t(U) %*% U)  # TRUE

# Use cases:
# svd() -> PCA, rank, pseudoinverse
# qr()  -> regression, stability
# chol()-> SPD solve, MVN sampling

Często zadawane pytania

Czy lekcja „Rozkłady SVD, QR i Cholesky’ego” jest bezpłatna?

Tak — pełny tekst „Rozkłady SVD, QR i Cholesky’ego” jest dostępny za darmo tutaj w sieci. Aby ćwiczyć ją interaktywnie (wbudowany edytor kodu i tutor AI dostępny 24/7) i odblokować resztę kursu R Academy, przejdź na CoddyKit PRO. Kurs R Academy zawiera 4 lekcji w sumie.

Co nauczysz się w „Rozkłady SVD, QR i Cholesky’ego”?

Zastosuj svd(), qr() i chol() do redukcji wymiarowości i faktoryzacji. Ćwiczysz R Academy z praktycznym kodem, który uruchamiasz bezpośrednio w przeglądarce, a tutor AI dostępny 24/7 odpowiada na Twoje pytania podczas pracy nad lekcją.

Czy potrzebuję doświadczenia, aby zacząć R Academy?

Nie wymagamy żadnego doświadczenia. R Academy w CoddyKit jest strukturyzowany dla początkujących i zaawansowanych użytkowników, więc możesz zacząć tutaj lub od początku i uczyć się w swoim tempie. To lekcja 4 z 4.

Ile czasu zajmuje lekcja „Rozkłady SVD, QR i Cholesky’ego”?

Większość lekcji CoddyKit trwa około 5–10 minut. Każda lekcja to mały, interaktywny krok, dzięki czemu robisz systematyczne postępy i zawsze wracasz dokładnie do tego samego miejsca — na webie i w aplikacji.

Czy mogę pisać i uruchamiać kod w tej lekcji R Academy?

Tak. Każda lekcja R Academy zawiera wbudowany edytor kodu, więc piszesz i uruchamiasz prawdziwy kod bezpośrednio w przeglądarce i od razu otrzymujesz sprzężenie zwrotne od AI — bez konfiguracji na komputerze.

Wszystkie lekcje w tym kursie

  1. Mnożenie macierzy i wyznaczniki
  2. Rozwiązywanie układów równań liniowych za pomocą solve()
  3. Wartości własne i wektory własne
  4. Rozkłady SVD, QR i Cholesky’ego
← Powrót do R Academy