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R Academy · Lezione

Moltiplicazione di matrici e determinanti

Usi %*% per la moltiplicazione di matrici e det() per calcolare il determinante.

Moltiplicazione di matrici e determinanti è una lezione R Academy gratuita su CoddyKit. Questa è la lezione 1 di 4. Puoi leggere la lezione completa qui gratuitamente — poi esercitati direttamente nel browser con un editor di codice integrato e un tutor IA disponibile 24/7. Fa parte del percorso di apprendimento R Academy, e i tuoi progressi si sincronizzano tra il web e l'app CoddyKit. Il corso R Academy include 4 lezioni in totale.

Creazione di matrici in R

Le matrici sono array bidimensionali riempiti per colonne per impostazione predefinita. Usi matrix(data, nrow, ncol). Può assegnare nomi a righe e colonne con rownames() e colnames().

# Create a 3x3 matrix (filled column-wise)
A <- matrix(c(1, 2, 3,
              4, 5, 6,
              7, 8, 9), nrow = 3, ncol = 3, byrow = TRUE)
print(A)
#      [,1] [,2] [,3]
# [1,]    1    2    3
# [2,]    4    5    6
# [3,]    7    8    9

dim(A)   # 3 3
nrow(A)  # 3
ncol(A)  # 3

Moltiplicazione tra matrici: %*%

L'operatore %*% esegue la vera moltiplicazione tra matrici (il prodotto scalare di righe e colonne). L'operatore * opera elemento per elemento: un errore comune. Le dimensioni devono essere compatibili: (m×n) %*% (n×p) = (m×p).

A <- matrix(c(1, 2, 3, 4), nrow = 2)
B <- matrix(c(5, 6, 7, 8), nrow = 2)

# Element-wise multiplication (NOT matrix mult)
A * B
#      [,1] [,2]
# [1,]    5   21
# [2,]   12   32

# True matrix multiplication
A %*% B
#      [,1] [,2]
# [1,]   19   43
# [2,]   22   50

# Verify: entry [1,1] = 1*5 + 2*6 = 17... wait:
# A[1,] = c(1,3), B[,1] = c(5,6): 1*5 + 3*6 = 23

Comprendere i risultati di %*%

Verifichiamo manualmente la moltiplicazione tra matrici. L'elemento (i,j) di C = A %*% B è il prodotto scalare della riga i di A per la colonna j di B: sum(A[i,] * B[,j]).

A <- matrix(c(1, 2, 3, 4, 5, 6), nrow = 2, byrow = TRUE)
B <- matrix(c(7, 8, 9, 10, 11, 12), nrow = 3, byrow = TRUE)
# A is 2x3, B is 3x2 -> result is 2x2
C <- A %*% B
print(C)

# Verify entry C[1,1]:
# row 1 of A: c(1,2,3), col 1 of B: c(7,9,11)
manual_11 <- sum(A[1, ] * B[, 1])
manual_11  # 1*7 + 2*9 + 3*11 = 58
C[1, 1]   # should match

Il determinante: det()

Il determinante è un valore scalare che rappresenta il fattore di scala di una matrice. det(A) lo calcola. Se det(A) == 0, la matrice è singolare (non invertibile). Per una matrice 2×2, det = ad - bc.

# 2x2 matrix: det = a*d - b*c
A <- matrix(c(3, 2, 1, 4), nrow = 2)
det(A)  # 3*4 - 2*1 = 10

# Singular matrix: det = 0
S <- matrix(c(1, 2, 2, 4), nrow = 2)
det(S)  # 0 -> not invertible

# Larger matrix
B <- matrix(c(2, -1, 0,
             -1,  2, -1,
              0, -1,  2), nrow = 3, byrow = TRUE)
det(B)  # 4

Traccia: sum(diag())

La traccia di una matrice è la somma dei suoi elementi diagonali. R non dispone di una funzione trace() integrata per le matrici (è una funzione diversa), quindi usi sum(diag(A)). La traccia è uguale alla somma degli autovalori.

A <- matrix(c(4, 2, 1,
              3, 5, 0,
              2, 1, 6), nrow = 3, byrow = TRUE)
# Extract diagonal elements
diag(A)  # c(4, 5, 6)

# Trace = sum of diagonal
trace_A <- sum(diag(A))
trace_A  # 15

# Trace = sum of eigenvalues (verify)
eigs <- eigen(A)$values
sum(Re(eigs))  # should also be approximately 15

# trace() in base R is NOT the matrix trace:
# trace(A) # this does something else

crossprod() e tcrossprod()

crossprod(A, B) calcola in modo efficiente t(A) %*% B, il prodotto incrociato. tcrossprod(A, B) calcola A %*% t(B). Queste funzioni sono più rapide della trasposizione esplicita perché evitano di creare la matrice trasposta.

A <- matrix(c(1, 2, 3, 4, 5, 6), nrow = 3)
B <- matrix(c(7, 8, 9, 10, 11, 12), nrow = 3)

# t(A) %*% B  (the slow way)
result1 <- t(A) %*% B

# crossprod(A, B) = t(A) %*% B (faster)
result2 <- crossprod(A, B)
all.equal(result1, result2)  # TRUE

# crossprod(A) = t(A) %*% A
ATA <- crossprod(A)
print(ATA)

# tcrossprod(A, B) = A %*% t(B)
result3 <- tcrossprod(A, B)
all.equal(A %*% t(B), result3)  # TRUE

Matrice identità con diag()

diag(n) crea una matrice identità n×n. diag(v), dove v è un vettore, crea una matrice diagonale con v sulla diagonale. diag(A), dove A è una matrice, estrae la diagonale.

# 3x3 identity matrix
I3 <- diag(3)
print(I3)
#      [,1] [,2] [,3]
# [1,]    1    0    0
# [2,]    0    1    0
# [3,]    0    0    1

# A * I = A (identity property)
A <- matrix(c(2, 3, 4, 5), nrow = 2)
all.equal(A %*% diag(2), A)  # TRUE

# Create diagonal matrix from vector
D <- diag(c(2, 5, 10))
print(D)
det(D)  # Product of diagonal: 100

Potenza di una matrice e moltiplicazione ripetuta

R non dispone di un operatore integrato per la potenza di matrici, ma può scriverne uno usando %*% in un ciclo oppure utilizzare il pacchetto expm. Il quadrato della matrice A² = A %*% A è un'operazione comune.

# Matrix square
A <- matrix(c(1, 1, 1, 0), nrow = 2)
A_sq <- A %*% A
print(A_sq)
# Fibonacci connection: A^n gives Fib numbers!

# Simple matrix power function
mat_pow <- function(M, n) {
  result <- diag(nrow(M))  # start with identity
  for (i in seq_len(n)) result <- result %*% M
  result
}

mat_pow(A, 5)  # A to the 5th power
# [1,]  8  5
# [2,]  5  3

Prodotto esterno con %o%

Il prodotto esterno x %o% y crea una matrice in cui l'elemento (i,j) = x[i] * y[j]. È equivalente a outer(x, y). È utile per creare matrici di interazione e alcune costruzioni matematiche.

x <- c(1, 2, 3)
y <- c(10, 20)

# Outer product: 3x2 matrix
P <- x %o% y
print(P)
#      [,1] [,2]
# [1,]   10   20
# [2,]   20   40
# [3,]   30   60

# Same as outer(x, y)
identical(P, outer(x, y))  # TRUE

# Outer with custom function
outer(1:3, 1:3, FUN = '+')
#      [,1] [,2] [,3]
# [1,]    2    3    4
# [2,]    3    4    5
# [3,]    4    5    6

Proprietà del determinante

Proprietà fondamentali: det(A %*% B) = det(A) * det(B); det(t(A)) = det(A); det(k*A) = k^n * det(A) per una matrice n×n; le operazioni sulle righe modificano det in modo prevedibile.

A <- matrix(c(2, 1, 5, 3), nrow = 2)
B <- matrix(c(4, 2, 1, 6), nrow = 2)

# det(A %*% B) = det(A) * det(B)
det(A %*% B)
det(A) * det(B)

# det(t(A)) = det(A)
det(t(A)); det(A)

# det(2A) = 2^n * det(A) for n=2
det(2 * A); 2^2 * det(A)

# det of upper triangular = product of diagonal
U <- matrix(c(3, 0, 0, 4, 2, 0, 1, 5, 7), nrow = 3, byrow = TRUE)
det(U); prod(diag(U))  # both = 42

Applicazione pratica: equazioni normali

Nella regressione lineare, lo stimatore OLS risolve t(X) %*% X %*% beta = t(X) %*% y. Questo utilizza la moltiplicazione tra matrici e la condizione det(t(X)%*%X) != 0 per garantire una soluzione unica.

# Generate simple regression data
set.seed(42)
n <- 20
x <- runif(n, 0, 10)
y <- 2 + 3 * x + rnorm(n)

# Design matrix with intercept column
X <- cbind(1, x)

# Check det of X'X (should be nonzero)
XtX <- crossprod(X)  # t(X) %*% X
det(XtX)  # large positive value

# Solve normal equations: beta = solve(X'X) %*% X'y
Xty <- crossprod(X, y)  # t(X) %*% y
beta <- solve(XtX) %*% Xty
beta  # Should be close to c(2, 3)

# Compare with lm()
coef(lm(y ~ x))  # same result

Verifica rapida

Verifichi la Sua comprensione delle operazioni sulle matrici in R.

Riepilogo: operazioni sulle matrici

Punti fondamentali: utilizzi %*% per la moltiplicazione tra matrici (non *). det(A) restituisce il determinante: zero significa che la matrice è singolare. sum(diag(A)) restituisce la traccia. crossprod(A,B) calcola in modo efficiente t(A)%*%B. diag(n) crea la matrice identità; diag(v) crea una matrice diagonale. Queste operazioni sono alla base della regressione, della PCA e di molti metodi numerici.

A <- matrix(c(2, 1, 1, 3), nrow = 2)
B <- matrix(c(1, 0, 0, 1), nrow = 2)  # Identity

# Core matrix operations summary:
A %*% B             # matrix multiply -> A
det(A)              # 2*3 - 1*1 = 5
sum(diag(A))        # trace = 2+3 = 5
crossprod(A)        # t(A) %*% A
tcrossprod(A)       # A %*% t(A)
diag(3)             # 3x3 identity
diag(c(1,2,3))      # diagonal matrix
A %o% c(1, 2)       # outer product

Domande Frequenti

La lezione «Moltiplicazione di matrici e determinanti» è gratuita?

Sì — il testo completo di «Moltiplicazione di matrici e determinanti» è gratuito qui sul web. Per esercitarvi in modo interattivo (un editor di codice integrato e un tutor IA 24/7) e sbloccare il resto del corso R Academy, passa a CoddyKit PRO. Il corso R Academy include 4 lezioni in totale.

Cosa imparerò in «Moltiplicazione di matrici e determinanti»?

Usi %*% per la moltiplicazione di matrici e det() per calcolare il determinante. Eserciti R Academy con codice pratico che esegui direttamente nel browser, e un tutor IA 24/7 risponde alle tue domande mentre lavori sulla lezione.

Ho bisogno di esperienza per iniziare R Academy?

Non è richiesta alcuna esperienza precedente. R Academy su CoddyKit è strutturato per principianti e studenti avanzati, quindi puoi iniziare da qui o dall'inizio e procedere al tuo ritmo. Questa è la lezione 1 di 4.

Quanto tempo richiede la lezione «Moltiplicazione di matrici e determinanti»?

La maggior parte delle lezioni CoddyKit richiede circa 5–10 minuti. Ogni lezione è breve e interattiva, quindi fai progressi costanti e riprendi esattamente da dove hai lasciato su web e app.

Posso scrivere ed eseguire codice in questa lezione R Academy?

Sì. Ogni lezione R Academy include un editor di codice integrato, quindi scrivi ed esegui codice reale direttamente nel tuo browser e ricevi feedback istantaneo dall'IA — nessuna configurazione locale necessaria.

Tutte le lezioni di questo corso

  1. Moltiplicazione di matrici e determinanti
  2. Risoluzione di sistemi lineari con solve()
  3. Autovalori e autovettori
  4. Decomposizioni SVD, QR e di Cholesky
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