Moltiplicazione di matrici con np.matmul e @

La moltiplicazione tra matrici è fondamentale nella data science e nel machine learning. È alla base delle reti neurali, della riduzione della dimensionalità e delle trasformazioni lineari. In Python, NumPy offre due modi chiari per moltiplicare le matrici: la funzione np.matmul() e l'operatore @, introdotto in Python 3.5. Entrambi sono veloci, vettorializzati e molto più efficienti dei cicli Python annidati.

Per due matrici A e B, il prodotto A @ B è valido solo quando il numero di colonne di A è uguale al numero di righe di B. Se A ha forma (m, n) e B ha forma (n, k), il risultato ha forma (m, k). Questa regola è chiamata vincolo delle dimensioni interne e si applica indipendentemente dalla funzione NumPy utilizzata.

np.matmul(A, B) e A @ B producono risultati identici per gli array 2D. L'operatore @ è semplicemente zucchero sintattico: internamente chiama __matmul__, che NumPy implementa usando la stessa routine BLAS a livello C. Utilizzare @ nel codice quotidiano per una maggiore leggibilità; utilizzare np.matmul quando si desidera passare la funzione come callable o gestire esplicitamente i casi limite.

NumPy dispone di tre funzioni di moltiplicazione che possono essere facilmente confuse. A * B è una moltiplicazione elemento per elemento (prodotto di Hadamard). np.dot(A, B) si comporta come np.matmul per gli array 2D, ma ha una semantica diversa per le dimensioni superiori. A @ B è esclusivamente una moltiplicazione tra matrici e segue con precisione la definizione matematica: per le operazioni sulle matrici, lo si preferisca a np.dot.

A differenza della moltiplicazione tra scalari, la moltiplicazione tra matrici non è commutativa: in generale A @ B è diverso da B @ A. Le forme potrebbero persino non essere compatibili in entrambe le direzioni. Questo è importante quando si scrivono trasformazioni: l'ordine delle operazioni modifica il risultato. Tenere sempre traccia della matrice che si trova a sinistra e di quella che si trova a destra.

Quando gli array hanno più di due dimensioni, np.matmul e @ trattano le dimensioni iniziali aggiuntive come dimensioni di batch e moltiplicano le matrici in parallelo. Per esempio, un array di forma (32, 3, 4) moltiplicato per uno di forma (32, 4, 5) produce un risultato di forma (32, 3, 5): 32 moltiplicazioni indipendenti 3×4 @ 4×5 eseguite simultaneamente. È così che i framework di deep learning elaborano in modo efficiente i mini-batch.

Un caso particolare comune consiste nel moltiplicare una matrice per un vettore. Se A ha forma (m, n) e v è un array 1D di lunghezza n, allora A @ v produce un array 1D di lunghezza m. NumPy gestisce automaticamente l'allineamento delle forme: non è necessario trasformare v in un vettore colonna. Questo schema è presente ovunque: nell'applicazione dei pesi nella regressione lineare, nella proiezione delle feature e nel calcolo simultaneo dei prodotti scalari per ogni riga.

La moltiplicazione tra matrici di NumPy chiama routine BLAS/LAPACK ottimizzate ed esegue il codice C compilato. Un ciclo annidato scritto interamente in Python che implementi la stessa operazione è in genere da 100 a 1000 volte più lento per le matrici grandi. Quando sono necessari prodotti tra matrici ripetuti in una pipeline di dati — trasformazioni delle feature, proiezioni PCA, aggiornamenti dei pesi — utilizzare sempre @ o np.matmul e non implementare mai personalmente il ciclo interno.

È possibile concatenare più operazioni @ in un'unica espressione: A @ B @ C viene valutata da sinistra verso destra. NumPy non ottimizza automaticamente l'ordine delle moltiplicazioni (a differenza di MATLAB con mtimes), quindi, se le matrici hanno dimensioni molto diverse, l'ordine può influire sulla velocità. Per tre o più matrici, considerare l'uso di np.linalg.multi_dot([A, B, C]), che seleziona automaticamente l'associazione più efficiente.

L'errore più comune nella moltiplicazione tra matrici è una mancata corrispondenza delle forme: ValueError: matmul: Input operand 1 has a mismatch in its core dimension 0. Per risolvere il problema, controlli le forme con A.shape e verifichi che le dimensioni interne coincidano. Se ha un vettore riga di forma (n,) che deve essere trattato come un vettore colonna di forma (n, 1), usi v.reshape(-1, 1). Se le serve la trasposta, usi A.T.

Un caso d'uso tipico nella data science: si dispone di un dataset X di forma (n_samples, n_features) e di una matrice dei pesi W di forma (n_features, n_outputs). Il prodotto tra matrici X @ W applica una trasformazione lineare a ogni campione simultaneamente, producendo una forma (n_samples, n_outputs). Questo è il calcolo fondamentale di un livello lineare in una rete neurale e della previsione nella regressione lineare.

Verifichi la sua comprensione della moltiplicazione tra matrici in NumPy.

In questa lezione ha imparato che: np.matmul e @ implementano una vera moltiplicazione tra matrici (non elemento per elemento), le dimensioni interne delle due matrici devono coincidere e @ supporta la moltiplicazione in batch sulle dimensioni iniziali. Prossimamente esploreremo determinanti, inverse e trasposte: le operazioni che indicano se una matrice può essere «annullata».