Mnożenie macierzy za pomocą np.matmul i @

Mnożenie macierzy jest podstawą analityki danych i uczenia maszynowego. Stanowi fundament sieci neuronowych, redukcji wymiarowości i transformacji liniowych. W Pythonie NumPy udostępnia dwa wygodne sposoby mnożenia macierzy: funkcję np.matmul() oraz operator @ wprowadzony w Pythonie 3.5. Oba rozwiązania są szybkie, zwektoryzowane i znacznie wydajniejsze niż zagnieżdżone pętle Pythona.

Dla dwóch macierzy A i B iloczyn A @ B jest prawidłowy tylko wtedy, gdy liczba kolumn macierzy A jest równa liczbie wierszy macierzy B. Jeśli A ma kształt (m, n), a B kształt (n, k), wynik ma kształt (m, k). Zasada ta jest nazywana ograniczeniem wymiarów wewnętrznych i obowiązuje niezależnie od użytej funkcji NumPy.

np.matmul(A, B) i A @ B dają identyczne wyniki dla tablic 2D. Operator @ jest po prostu cukrem składniowym — w tle wywołuje __matmul__, które NumPy implementuje za pomocą tej samej procedury BLAS na poziomie C. W codziennym kodzie używaj @ ze względu na czytelność; używaj np.matmul, gdy chcesz przekazać funkcję jako obiekt wywoływalny lub jawnie obsłużyć przypadki brzegowe.

NumPy ma trzy funkcje mnożenia, które łatwo pomylić. A * B oznacza mnożenie element po elemencie (iloczyn Hadamarda). np.dot(A, B) działa jak np.matmul dla tablic 2D, ale dla większej liczby wymiarów ma inną semantykę. A @ B oznacza ściśle mnożenie macierzy i dokładnie odpowiada definicji matematycznej — w przypadku pracy z macierzami wybieraj je zamiast np.dot.

W przeciwieństwie do mnożenia skalarów mnożenie macierzy nie jest przemienne: A @ B na ogół różni się od B @ A. Kształty macierzy mogą nawet nie być zgodne w obu kierunkach. Ma to znaczenie podczas zapisywania transformacji — kolejność działań zmienia wynik. Zawsze kontroluj, która macierz znajduje się po lewej, a która po prawej stronie.

Gdy tablice mają więcej niż dwa wymiary, np.matmul i @ traktują dodatkowe wymiary początkowe jako wymiary partii i mnożą macierze równolegle. Na przykład pomnożenie tablicy o kształcie (32, 3, 4) przez tablicę o kształcie (32, 4, 5) daje wynik o kształcie (32, 3, 5) — jednocześnie wykonywanych jest 32 niezależnych mnożeń 3×4 @ 4×5. W ten sposób frameworki uczenia głębokiego wydajnie przetwarzają mini partie.

Typowym przypadkiem szczególnym jest mnożenie macierzy przez wektor. Jeśli A ma kształt (m, n), a v jest tablicą 1D o długości n, wówczas A @ v daje tablicę 1D o długości m. NumPy automatycznie dopasowuje kształty — nie trzeba przekształcać v w wektor kolumnowy. Ten wzorzec występuje wszędzie: przy stosowaniu wag w regresji liniowej, rzutowaniu cech oraz jednoczesnym obliczaniu iloczynów skalarnych dla każdego wiersza.

Mnożenie macierzy w NumPy korzysta ze zoptymalizowanych procedur BLAS/LAPACK i wykonuje się w skompilowanym kodzie C. Zagnieżdżona pętla napisana wyłącznie w Pythonie, implementująca tę samą operację, jest zazwyczaj 100–1000 razy wolniejsza dla dużych macierzy. Gdy w potoku danych potrzebujesz wielokrotnie mnożyć macierze — na przykład podczas transformacji cech, rzutowań PCA czy aktualizacji wag — zawsze używaj @ lub np.matmul i nigdy nie implementuj samodzielnie pętli wewnętrznej.

Możesz łączyć wiele operacji @ w jednym wyrażeniu: A @ B @ C jest obliczane od lewej do prawej. NumPy nie optymalizuje automatycznie kolejności mnożenia (w przeciwieństwie do MATLAB-owego mtimes), więc jeśli macierze mają bardzo różne rozmiary, kolejność może wpływać na szybkość działania. W przypadku trzech lub większej liczby macierzy rozważ użycie np.linalg.multi_dot([A, B, C]), które automatycznie wybiera najbardziej wydajne parowanie.

Najczęstszym błędem podczas mnożenia macierzy jest niezgodność kształtów: ValueError: matmul: Input operand 1 has a mismatch in its core dimension 0. Aby go naprawić, należy sprawdzić kształty za pomocą A.shape i upewnić się, że wymiary wewnętrzne są zgodne. Jeśli mają Państwo wektor wierszowy o kształcie (n,), który powinien być traktowany jako wektor kolumnowy o kształcie (n, 1), należy użyć v.reshape(-1, 1). Jeśli potrzebna jest transpozycja, należy użyć A.T.

Typowy przypadek użycia w data science: mają Państwo zbiór danych X o kształcie (n_samples, n_features) oraz macierz wag W o kształcie (n_features, n_outputs). Iloczyn macierzy X @ W stosuje transformację liniową jednocześnie do każdej próbki, uzyskując kształt (n_samples, n_outputs). Jest to podstawowe działanie warstwy liniowej w sieci neuronowej oraz predykcji regresji liniowej.

Sprawdźcie Państwo swoją wiedzę na temat mnożenia macierzy w NumPy.

W tej lekcji nauczyli się Państwo, że: np.matmul i @ implementują właściwe mnożenie macierzy (a nie mnożenie element po elemencie), wymiary wewnętrzne obu macierzy muszą być zgodne, a @ obsługuje mnożenie wsadowe w wymiarach wiodących. Następnie omówimy wyznaczniki, macierze odwrotne i transpozycje — operacje, które informują, czy macierz można „odwrócić”.