Determinanti, inverse e trasposte

La trasposta di una matrice la riflette rispetto alla diagonale: le righe diventano colonne e le colonne diventano righe. Se A ha forma (m, n), allora A.T ha forma (n, m). Le trasposte compaiono ovunque nell'algebra lineare: nel calcolo delle matrici di covarianza, nell'implementazione della retropropagazione del gradiente e nella conversione tra le convenzioni dei vettori riga e dei vettori colonna. NumPy accede alla trasposta tramite l'attributo .T: non viene effettuata alcuna copia, ma si ottiene semplicemente una vista con gli stride riordinati.

Un'operazione frequente consiste nel calcolare A.T @ A, che produce una matrice quadrata simmetrica utilizzata nella regressione ai minimi quadrati, nella PCA e nelle equazioni normali. Se A ha forma (n, p), allora A.T @ A ha forma (p, p). Il risultato è sempre simmetrico perché (A.T @ A)[i,j] == (A.T @ A)[j,i]. Molti risolutori numerici sfruttano questa proprietà per aumentare l'efficienza.

Il determinante di una matrice quadrata è un valore scalare che contiene informazioni geometriche: misura il fattore con cui la matrice scala le aree (in 2D) o i volumi (in dimensioni superiori). Un determinante uguale a zero indica che la matrice è singolare: comprime lo spazio in un sottospazio di dimensione inferiore e non ha inversa. Un determinante diverso da zero garantisce che la matrice sia invertibile. NumPy lo calcola con np.linalg.det().

L'inversa di una matrice A, indicata con A⁻¹, soddisfa A @ A⁻¹ = I, dove I è la matrice identità. Le inverse esistono solo per matrici quadrate e non singolari. np.linalg.inv(A) calcola numericamente l'inversa. Nella pratica, dovrebbe calcolare esplicitamente le inverse solo raramente, perché questa operazione è numericamente instabile; per i sistemi di equazioni, preferisca invece np.linalg.solve(). Tuttavia, comprendere concettualmente le inverse è fondamentale.

Calcolare l'inversa di una matrice e poi moltiplicarla introduce errori di arrotondamento che si accumulano. Ad esempio, risolvere A_inv @ b è meno preciso che chiamare direttamente np.linalg.solve(A, b). Una matrice ben condizionata (con determinante lontano da zero) è meno sensibile a questi errori. Il numero di condizionamento (np.linalg.cond(A)) quantifica quanto una matrice sia vicina a essere singolare: numeri di condizionamento elevati segnalano problemi numerici.

Una classe speciale di matrici è costituita dalle matrici ortogonali, per le quali vale A.T @ A = I. Ciò significa che la trasposta È l'inversa, rendendo le matrici ortogonali estremamente economiche da invertire. Le matrici di rotazione e il fattore Q della decomposizione QR sono ortogonali. Le colonne di una matrice ortogonale formano una base ortonormale: ogni colonna ha lunghezza unitaria ed è perpendicolare a tutte le altre colonne.

Un'inversa ordinaria esiste solo per le matrici quadrate, ma la pseudoinversa di Moore-Penrose generalizza l'inversione a qualsiasi matrice. np.linalg.pinv(A) la calcola usando la SVD. È alla base della soluzione ai minimi quadrati dei sistemi sovradeterminati (con più equazioni che incognite), esattamente ciò che risolve la regressione lineare. Se A è quadrata e invertibile, pinv(A) è uguale a inv(A).

Il segno del determinante indica se la trasformazione conserva o inverte l'orientamento. Un determinante positivo significa che l'orientamento è conservato (come in una rotazione); un determinante negativo significa che l'orientamento è invertito (come in una riflessione). Il valore assoluto fornisce il fattore di ridimensionamento del volume. Per una matrice 2×2 [[a,b],[c,d]], det = a*d - b*c. NumPy gestisce in modo efficiente matrici quadrate di qualsiasi dimensione.

Per le matrici di grandi dimensioni, il determinante può produrre un overflow oppure ridursi a zero per underflow anche quando la matrice non è singolare. np.linalg.slogdet(A) restituisce (sign, log_abs_det): il segno e il logaritmo naturale del determinante in valore assoluto, evitando così l'overflow numerico. Questa tecnica è ampiamente usata nei modelli probabilistici (come le verosimiglianze gaussiane), in cui si lavora nello spazio logaritmico per mantenere i numeri gestibili.

Per una matrice 2×2 [[a, b], [c, d]], l'inversa è (1/det) * [[d, -b], [-c, a]], dove det = ad - bc. Conoscere questa formula aiuta a verificare rapidamente il risultato di NumPy. Per matrici più grandi, calcolare analiticamente l'inversa è impraticabile: è proprio per questo che si usa np.linalg.inv(). Verifichi sempre i risultati numerici con np.allclose(A @ A_inv, np.eye(n)).

Un modello comune dell'algebra lineare combina trasposta e inversa: calcolare (A.T @ A)⁻¹ @ A.T produce la matrice di proiezione usata nei minimi quadrati ordinari. In NumPy, si può scrivere np.linalg.inv(A.T @ A) @ A.T, ma anche in questo caso np.linalg.lstsq è preferibile dal punto di vista numerico. Conoscere il modello sottostante aiuta a capire cosa fa il risolutore e a eseguire il debug dei problemi quando le matrici sono quasi singolari.

Verifichi la sua comprensione dei concetti di analisi dei dati presentati in questa lezione.

In questa lezione ha imparato che: A.T è la trasposta che scambia righe e colonne, np.linalg.inv() calcola l'inversa di una matrice, ma dovrebbe essere usata direttamente solo raramente (preferisca solve o lstsq), e np.linalg.det() restituisce il determinante, che è zero per le matrici singolari. Prossimamente esploreremo la risoluzione diretta dei sistemi lineari con np.linalg.solve.