Multiplication matricielle avec np.matmul et @

La multiplication matricielle est au cœur de la science des données et de l’apprentissage automatique. Elle sous-tend les réseaux neuronaux, la réduction dimensionnelle et les transformations linéaires. En Python, NumPy propose deux moyens simples de multiplier des matrices : la fonction np.matmul() et l’opérateur @, introduit dans Python 3.5. Les deux sont rapides, vectorisés et bien plus efficaces que des boucles Python imbriquées.

Pour deux matrices A et B, le produit A @ B n’est valide que lorsque le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B. Si A est de forme (m, n) et B de forme (n, k), le résultat est de forme (m, k). Cette règle, appelée contrainte des dimensions internes, s’applique quelle que soit la fonction NumPy utilisée.

np.matmul(A, B) et A @ B produisent des résultats identiques pour les tableaux 2D. L’opérateur @ est simplement du sucre syntaxique : en interne, il appelle __matmul__, que NumPy implémente avec la même routine BLAS au niveau C. Utilisez @ dans le code courant pour améliorer la lisibilité ; utilisez np.matmul lorsque vous souhaitez transmettre la fonction comme fonction appelable ou traiter explicitement des cas particuliers.

NumPy possède trois fonctions de multiplication qu’il est facile de confondre. A * B effectue une multiplication terme à terme (produit de Hadamard). np.dot(A, B) se comporte comme np.matmul pour les tableaux 2D, mais possède une sémantique différente pour les dimensions supérieures. A @ B est strictement une multiplication matricielle et suit précisément la définition mathématique : préférez-le à np.dot pour les opérations sur les matrices.

Contrairement à la multiplication des scalaires, la multiplication matricielle n’est pas commutative : A @ B diffère généralement de B @ A. Les dimensions peuvent même ne pas être compatibles dans les deux sens. Cela est important lorsque vous écrivez des transformations : l’ordre des opérations modifie le résultat. Vérifiez toujours quelle matrice se trouve à gauche et laquelle se trouve à droite.

Lorsque vos tableaux ont plus de deux dimensions, np.matmul et @ considèrent les dimensions supplémentaires en tête comme des dimensions de lot et multiplient les matrices en parallèle. Par exemple, la multiplication d’un tableau de forme (32, 3, 4) par un tableau de forme (32, 4, 5) produit un résultat de forme (32, 3, 5) : 32 multiplications indépendantes de matrices 3×4 @ 4×5 en une seule fois. C’est ainsi que les frameworks d’apprentissage profond traitent efficacement les mini-lots.

Un cas particulier courant consiste à multiplier une matrice par un vecteur. Si A est de forme (m, n) et que v est un tableau 1D de longueur n, alors A @ v produit un tableau 1D de longueur m. NumPy gère automatiquement l’alignement des dimensions : vous n’avez pas besoin de remodeler v en vecteur colonne. Ce schéma apparaît partout : application de poids en régression linéaire, projection de caractéristiques et calcul simultané des produits scalaires de chaque ligne.

La multiplication matricielle de NumPy appelle des routines BLAS/LAPACK optimisées et s’exécute dans du code C compilé. Une boucle imbriquée en Python pur qui réalise la même opération est généralement 100 à 1 000 fois plus lente pour les grandes matrices. Lorsque vous devez effectuer des produits matriciels répétés dans un pipeline de données — transformations de caractéristiques, projections PCA, mises à jour des poids — utilisez toujours @ ou np.matmul et n’implémentez jamais vous-même la boucle interne.

Vous pouvez enchaîner plusieurs opérations @ dans une même expression : A @ B @ C est évaluée de gauche à droite. NumPy n’optimise pas automatiquement l’ordre des multiplications (contrairement à MATLAB avec mtimes), donc l’ordre peut avoir une incidence sur la vitesse si les matrices ont des tailles très différentes. Pour trois matrices ou plus, envisagez d’utiliser np.linalg.multi_dot([A, B, C]), qui sélectionne automatiquement le regroupement le plus efficace.

L’erreur la plus courante avec la multiplication matricielle est une incompatibilité de formes : ValueError: matmul: Input operand 1 has a mismatch in its core dimension 0. Pour la corriger, vérifiez les formes avec A.shape et assurez-vous que les dimensions internes correspondent. Si vous avez un vecteur ligne de forme (n,) qui doit être traité comme un vecteur colonne (n, 1), utilisez v.reshape(-1, 1). Si vous avez besoin de la transposée, utilisez A.T.

Voici un cas d’utilisation courant en science des données : vous disposez d’un jeu de données X de forme (n_samples, n_features) et d’une matrice de poids W de forme (n_features, n_outputs). Le produit matriciel X @ W applique une transformation linéaire à chaque échantillon simultanément et produit une forme (n_samples, n_outputs). Il s’agit du calcul central d’une couche linéaire dans un réseau neuronal et de la prédiction par régression linéaire.

Testez votre compréhension de la multiplication matricielle avec NumPy.

Dans cette leçon, vous avez appris que np.matmul et @ réalisent une véritable multiplication matricielle (et non une multiplication terme à terme), que les dimensions internes des deux matrices doivent correspondre et que @ prend en charge la multiplication par lots sur les dimensions initiales. Nous allons maintenant étudier les déterminants, les inverses et les transposées : les opérations qui indiquent si une matrice peut être « défaite ».