R Academy · leksjon

SVD-, QR- og Cholesky-dekomponeringer

Bruk svd(), qr() og chol() til dimensjonsreduksjon og faktorisering.

Leksjon 4 av 413 trinn

SVD-, QR- og Cholesky-dekomponeringer er en gratis leksjon i R Academy på CoddyKit. Dette er leksjon 4 av 4. Du kan lese valgfritt 3 leksjoner fra denne læringsstien gratis i sin helhet – deretter låser CoddyKit PRO opp alle leksjoner, samt praktisk øving med en innebygd kodeeditor og en AI-veileder som er tilgjengelig døgnet rundt. Den er en del av læringsløpet i R Academy, og fremdriften din synkroniseres mellom nettet og CoddyKit-appen. Kurset i R Academy inneholder totalt 4 leksjoner.

Hvorfor matrisedekomponeringer?

Matrisedekomponeringer faktoriserer A i produkter av enklere matriser. De avdekker skjult struktur (rang, kondisjon), muliggjør effektiv beregning og er grunnleggende for PCA, regresjon og optimering i statistikk og maskinlæring.

# Three fundamental decompositions:
# 1. SVD: A = U D V'  (any matrix)
# 2. QR:  A = Q R    (any matrix)
# 3. Cholesky: A = L L'  (symmetric positive definite)

# Each serves a purpose:
# SVD -> PCA, pseudoinverse, rank, image compression
# QR  -> linear regression, Gram-Schmidt, eigenvalues
# Cholesky -> fast solve for SPD systems, simulation

A <- matrix(c(4, 3, 2,
              3, 6, 1,
              2, 1, 5), nrow = 3, byrow = TRUE)
cat('Matrix ready for decomposition')
print(A)

SVD: funksjonen svd()

Singularverdidekomponering (SVD) faktoriserer enhver m×n-matrise som A = U D V', der U og V er ortogonale, og D er diagonal med ikke-negative singularverdier i avtakende rekkefølge.

A <- matrix(c(1, 2, 3,
              4, 5, 6), nrow = 2, byrow = TRUE)

# Compute SVD
svd_result <- svd(A)

# Components:
svd_result$d  # singular values (decreasing)
svd_result$u  # left singular vectors  (2x2)
svd_result$v  # right singular vectors (3x2)

cat('Singular values:', svd_result$d, '\n')
cat('Rank of A:', sum(svd_result$d > 1e-10), '\n')

Rekonstruksjon med SVD

Rekonstruer A fra SVD som A = U %*% diag(d) %*% t(V). Lavrangsapproksimasjoner beholder bare de k største singularverdiene/-vektorene — dette er grunnlaget for bildekomprimering og støyreduksjon.

A <- matrix(c(1, 2, 3,
              4, 5, 6,
              7, 8, 9), nrow = 3, byrow = TRUE)

res <- svd(A)
U <- res$u; d <- res$d; V <- res$v

# Full reconstruction: A = U diag(d) V'
A_reconstructed <- U %*% diag(d) %*% t(V)
all.equal(A, A_reconstructed)  # TRUE

# Rank-1 approximation (best rank-1 approx by Eckart-Young)
A_rank1 <- d[1] * U[, 1] %*% t(V[, 1])
print(round(A_rank1, 2))

# Frobenius error of rank-1 approx
sqrt(sum((A - A_rank1)^2))

SVD: pseudoinvers og rang

SVD gir pseudoinversen A⁺ = V D⁺ U', der D⁺ erstatter hver ikke-null singularverdi med den inverse verdien. Den løser Ax = b i minste-kvadraters-forstand, også når A ikke er kvadratisk eller har full rang.

A <- matrix(c(1, 2, 3,
              4, 5, 6), nrow = 2, byrow = TRUE)

# Pseudoinverse via SVD
svd_res <- svd(A)
tol <- 1e-10
# Invert nonzero singular values
d_inv <- ifelse(svd_res$d > tol, 1/svd_res$d, 0)
A_pinv <- svd_res$v %*% diag(d_inv) %*% t(svd_res$u)
print(A_pinv)  # 3x2 pseudoinverse

# Least-squares solution: x = A+ b
b <- c(7, 8)
x_ls <- A_pinv %*% b
print(x_ls)

# Compare with MASS::ginv
# MASS::ginv(A) should give the same result

QR-dekomponering: qr()

QR-dekomponering faktoriserer A = QR, der Q er ortogonal (Q'Q = I) og R er øvre triangulær. Den brukes i lineær regresjon, ved beregning av egenverdier (QR-algoritmen) og til Gram-Schmidt-ortogonalisering.

A <- matrix(c(1, 2,
              3, 4,
              5, 6), nrow = 3, byrow = TRUE)

# Compute QR decomposition
qr_res <- qr(A)

# Extract Q and R
Q <- qr.Q(qr_res)  # 3x2 orthogonal
R <- qr.R(qr_res)  # 2x2 upper triangular

cat('Q is orthogonal: Q\'Q = I\n')
print(round(t(Q) %*% Q, 10))  # Identity

cat('R is upper triangular:\n')
print(round(R, 6))

# Reconstruct A = Q %*% R
all.equal(A, Q %*% R)  # TRUE

QR for regresjon

Det er numerisk bedre å løse de normale ligningene for lineær regresjon ved hjelp av QR. Siden Q'Q = I, blir de normale ligningene A'Ax = A'b til R'Q'QRx = R'Q'b, som forenkles til Rx = Q'b og løses med bakoversubstitusjon.

# Generate regression data
set.seed(7)
n <- 20
x1 <- rnorm(n); x2 <- rnorm(n)
y <- 1 + 2*x1 - 0.5*x2 + rnorm(n, sd = 0.5)

# Design matrix
X <- cbind(intercept = 1, x1 = x1, x2 = x2)

# QR solve: numerically stable
beta_qr <- qr.solve(X, y)
print(beta_qr)  # ~c(1, 2, -0.5)

# Compare with lm()
beta_lm <- coef(lm(y ~ x1 + x2))
all.equal(beta_qr, beta_lm, check.names = FALSE)  # TRUE

# The qr.solve internals use backsolve on R
cat('QR regression is lm()\'s default method')

Cholesky-dekomponering: chol()

Cholesky faktoriserer en symmetrisk positivt definit matrise som A = L L', der L er nedre triangulær. R-funksjonen chol() returnerer den øvre triangulære faktoren U, slik at A = t(U) %*% U.

# Symmetric positive definite matrix
A <- matrix(c(4, 2,
              2, 3), nrow = 2, byrow = TRUE)

# Cholesky decomposition: A = t(U) %*% U
U <- chol(A)
print(U)
# Note: chol() returns UPPER triangular in R

# Reconstruct
all.equal(A, t(U) %*% U)  # TRUE

# Attempting Cholesky on non-PD matrix throws error
# Catch it:
result <- tryCatch(
  chol(matrix(c(1, 3, 3, 2), nrow = 2)),
  error = function(e) cat('Error:', e$message)
)

Løse med Cholesky

For symmetriske positivt definte systemer, som kovariansmatriser, er løsning basert på Cholesky dobbelt så rask som LU. Bruk chol2inv() til å beregne inversen, eller bruk backsolve/forwardsolve med Cholesky-faktoren.

# SPD system: typical in statistics (covariance matrices)
set.seed(1)
X <- matrix(rnorm(30), nrow = 10, ncol = 3)
A <- crossprod(X)  # X'X is always SPD
b <- c(1, 2, 3)

# Cholesky factor
U <- chol(A)  # Upper triangular

# Solve A x = b using two triangular solves
# A = t(U) %*% U -> solve t(U) y = b, then U x = y
y <- forwardsolve(t(U), b)
x <- backsolve(U, y)
print(x)

# Verify
all.equal(as.vector(A %*% x), b)

# Or: inverse via chol2inv
A_inv <- chol2inv(U)
all.equal(x, as.vector(A_inv %*% b))

SVD i PCA

PCA via SVD: sentrer datamatrisen X, og beregn deretter SVD av den sentrerte X. De høyre singularvektorene V er retningene til hovedkomponentene; singularverdiene d er knyttet til forklart varians (d²/(n-1)).

set.seed(42)
n <- 50; p <- 3
X <- matrix(rnorm(n * p), nrow = n)
# Add correlation
X[, 2] <- 0.8 * X[, 1] + 0.6 * X[, 2]

# Center
X_c <- scale(X, center = TRUE, scale = FALSE)

# SVD of centered data
svd_res <- svd(X_c)

# Variance explained by each PC
var_explained <- svd_res$d^2 / (n - 1)
prop_var <- var_explained / sum(var_explained)
cat('Proportion of variance explained:\n')
print(round(prop_var, 3))

# Compare with prcomp
pc <- prcomp(X)
all.equal(prop_var, pc$sdev^2 / sum(pc$sdev^2))

Matriserang via SVD

Rangen til en matrise er lik antallet singularverdier som ikke er neglisjerbare. SVD gir den mest numerisk pålitelige måten å bestemme rang på — tell ganske enkelt d-verdier over en terskel (vanligvis max(d) * tol).

# Full-rank matrix (rank 3)
A <- matrix(c(1, 0, 0,
              0, 2, 0,
              0, 0, 3), nrow = 3)
svd(A)$d  # c(3, 2, 1) - all nonzero -> rank 3

# Rank-deficient matrix (rank 2)
B <- matrix(c(1, 2, 3,
              2, 4, 6,   # row 2 = 2 * row 1
              0, 1, 1), nrow = 3, byrow = TRUE)
svd(B)$d  # Third value is ~0

# Rank function using SVD
matrix_rank <- function(M, tol = 1e-10) {
  d <- svd(M)$d
  sum(d > tol * d[1])  # relative tolerance
}
matrix_rank(B)  # 2

Cholesky for sampling fra multivariat normalfordeling

For å trekke et utvalg fra en multivariat normalfordeling N(μ, Σ), beregner De Cholesky-faktoren U til Σ og transformerer deretter standardnormalfordelte verdier: X = μ + Z %*% U. Slik fungerer MASS::mvrnorm() internt.

set.seed(99)
# Covariance matrix
Sigma <- matrix(c(4, 2,
                  2, 3), nrow = 2)
mu <- c(1, 5)
n_samples <- 500

# Cholesky factor
U <- chol(Sigma)

# Sample standard normals
Z <- matrix(rnorm(n_samples * 2), nrow = n_samples)

# Transform: X ~ N(mu, Sigma)
X <- sweep(Z %*% U, 2, mu, FUN = '+')

# Check empirical covariance
print(round(cov(X), 2))  # Should be close to Sigma
print(round(colMeans(X), 2))  # Should be close to mu

Kort test

Test forståelsen Deres av SVD-, QR- og Cholesky-dekomponeringer i R.

Besvar den i den interaktive leksjonen

Oppsummering: SVD, QR og Cholesky

Viktig å huske: SVD (svd()) returnerer d, u, v og brukes til PCA, rang, pseudoinvers og lavrangsapproksimasjon. QR (qr()) returnerer en ortogonal Q og en øvre triangulær R og brukes til regresjon og stabilitet. Cholesky (chol()) returnerer den øvre triangulære U, der A = t(U)%*%U, og er raskest for SPD-systemer. Alle kan rekonstruere A nøyaktig, men brukes til ulike beregningsformål.

A <- matrix(c(4, 2, 2, 3), nrow = 2)

# SVD
res <- svd(A)
all.equal(A, res$u %*% diag(res$d) %*% t(res$v))  # TRUE

# QR (on a design matrix)
X <- cbind(1, c(1,2,3,4,5))
qr_res <- qr(X)
all.equal(X, qr.Q(qr_res) %*% qr.R(qr_res))  # TRUE

# Cholesky
U <- chol(A)
all.equal(A, t(U) %*% U)  # TRUE

# Use cases:
# svd() -> PCA, rank, pseudoinverse
# qr()  -> regression, stability
# chol()-> SPD solve, MVN sampling

Gratis å komme i gang

Lær deg R med en AI-veileder – gratis

Skriv og kjør ekte kode i nettleseren, få umiddelbar hjelp fra en AI-veileder som er tilgjengelig døgnet rundt, og fortsett der du slapp – på nettet eller i appen.

Kurs: 43
Leksjoner: 159

Start læringen gratis Se hele kurset

Ofte stilte spørsmål

Er leksjonen «SVD-, QR- og Cholesky-dekomponeringer» gratis?

Ja – du kan lese valgfritt 3 av leksjonene i læringsstien R Academy, inkludert «SVD-, QR- og Cholesky-dekomponeringer», gratis i sin helhet her på nettet. Deretter låser CoddyKit PRO opp alle leksjoner, samt interaktiv øving med en innebygd kodeeditor og en AI-veileder som er tilgjengelig døgnet rundt. Kurset i R Academy inneholder totalt 4 leksjoner.

Hva lærer jeg i «SVD-, QR- og Cholesky-dekomponeringer»?

Bruk svd(), qr() og chol() til dimensjonsreduksjon og faktorisering. Du øver på R Academy med praktisk kode som du kjører direkte i nettleseren, mens en AI-veileder som er tilgjengelig døgnet rundt, svarer på spørsmålene dine mens du jobber deg gjennom leksjonen.

Trenger jeg erfaring for å begynne med R Academy?

Ingen tidligere erfaring er nødvendig. R Academy på CoddyKit er lagt opp for både nybegynnere og viderekomne, så De kan begynne her eller helt fra start og lære i Deres eget tempo. Dette er leksjon 4 av 4.

Hvor lang tid tar leksjonen «SVD-, QR- og Cholesky-dekomponeringer»?

De fleste CoddyKit-leksjoner tar omtrent 5–10 minutter. Hver leksjon er kort og interaktiv, slik at De gjør jevne fremskritt og kan fortsette akkurat der De slapp – både på nettet og i appen.

Kan jeg skrive og kjøre kode i denne R Academy-leksjonen?

Ja. Alle R Academy-leksjoner har en innebygd kodeeditor, slik at De kan skrive og kjøre ekte kode direkte i nettleseren og få umiddelbar tilbakemelding fra AI – uten lokal konfigurering.

Alle leksjonene i dette kurset

← Tilbake til R Academy