Matrise-multiplikasjon med np.matmul og @

Matrise-multiplikasjon står sentralt i datavitenskap og maskinlæring. Den ligger til grunn for nevrale nettverk, dimensjonsreduksjon og lineære transformasjoner. I Python gir NumPy Dem to enkle måter å multiplisere matriser på: funksjonen np.matmul() og operatoren @, som ble introdusert i Python 3.5. Begge er raske, vektoriserte og langt mer effektive enn nøstede Python-løkker.

For to matriser A og B er produktet A @ B bare gyldig når antallet kolonner i A er lik antallet rader i B. Hvis A har formen (m, n) og B har formen (n, k), får resultatet formen (m, k). Denne regelen kalles kravet til indre dimensjoner og gjelder uavhengig av hvilken NumPy-funksjon De bruker.

np.matmul(A, B) og A @ B gir identiske resultater for 2D-arrayer. Operatoren @ er ganske enkelt syntaktisk sukker — den kaller __matmul__ i bakgrunnen, og NumPy implementerer dette med den samme BLAS-rutinen på C-nivå. Bruk @ i vanlig kode for bedre lesbarhet, og bruk np.matmul når De vil sende funksjonen som en kallbar verdi eller håndtere spesialtilfeller uttrykkelig.

NumPy har tre multiplikasjonsfunksjoner som det er lett å forveksle. A * B er elementvis multiplikasjon (Hadamard-produkt). np.dot(A, B) oppfører seg som np.matmul for 2D-arrayer, men har annen betydning for høyere dimensjoner. A @ B er ren matrise-multiplikasjon og følger den matematiske definisjonen nøyaktig — foretrekk den fremfor np.dot når De arbeider med matriser.

I motsetning til multiplikasjon av skalarer er matrise-multiplikasjon ikke kommutativ: A @ B er vanligvis forskjellig fra B @ A. Dimensjonene er kanskje ikke engang kompatible i begge retninger. Dette er viktig når De skriver transformasjoner — rekkefølgen på operasjonene endrer resultatet. Hold alltid oversikt over hvilken matrise som står til venstre og hvilken som står til høyre.

Når arrayene har mer enn to dimensjoner, behandler np.matmul og @ de ekstra innledende dimensjonene som batch-dimensjoner og multipliserer matriser parallelt. En array med formen (32, 3, 4) som multipliseres med en med formen (32, 4, 5), gir for eksempel et resultat med formen (32, 3, 5) — 32 uavhengige multiplikasjoner av 3×4 @ 4×5 samtidig. Det er slik rammeverk for dyp læring behandler mini-batcher effektivt.

Et vanlig spesialtilfelle er å multiplisere en matrise med en vektor. Hvis A har formen (m, n) og v er en 1D-array med lengde n, produserer A @ v en 1D-array med lengde m. NumPy håndterer dimensjonstilpasningen automatisk — De trenger ikke å omforme v til en kolonnevektor. Dette mønsteret forekommer overalt: ved bruk av vekter i lineær regresjon, projisering av egenskaper og samtidig beregning av skalarprodukter for hver rad.

NumPys matrise-multiplikasjon kaller optimaliserte BLAS/LAPACK-rutiner og kjører i kompilert C-kode. En ren nøstet Python-løkke som implementerer den samme operasjonen, er vanligvis 100–1000 ganger tregere for store matriser. Når De trenger gjentatte matriseprodukter i en datapipeline — for eksempel ved egenskapstransformasjoner, PCA-projeksjoner eller oppdatering av vekter — bør De alltid bruke @ eller np.matmul og aldri implementere den indre løkken selv.

De kan kjede flere @-operasjoner i ett uttrykk: A @ B @ C evalueres fra venstre mot høyre. NumPy optimaliserer ikke automatisk multiplikasjonsrekkefølgen (i motsetning til MATLABs mtimes), så rekkefølgen kan ha betydning for hastigheten når matrisene har svært ulike størrelser. For tre eller flere matriser bør De vurdere å bruke np.linalg.multi_dot([A, B, C]), som automatisk velger den mest effektive grupperingen.

Den vanligste feilen ved matrisemultiplikasjon er at formene ikke samsvarer: ValueError: matmul: Input operand 1 has a mismatch in its core dimension 0. Løsningen er å kontrollere formene med A.shape og sørge for at de indre dimensjonene samsvarer. Hvis De har en radvektor med formen (n,) som må behandles som en kolonnevektor med formen (n, 1), bruker De v.reshape(-1, 1). Hvis De trenger transponeringen, bruker De A.T.

Et typisk bruksområde innen datavitenskap er at De har et datasett X med formen (n_samples, n_features) og en vektmatrise W med formen (n_features, n_outputs). Matriseresultatet X @ W utfører en lineær transformasjon på alle observasjoner samtidig, og resultatet får formen (n_samples, n_outputs). Dette er kjerneberegningen i et lineært lag i et nevralt nettverk og ved prediksjon med lineær regresjon.

I denne leksjonen lærte De at np.matmul og @ utfører ekte matrisemultiplikasjon (ikke elementvis multiplikasjon), at de indre dimensjonene i de to matrisene må samsvare, og at @ støtter satsvis multiplikasjon over ledende dimensjoner. Deretter skal vi se på determinanter, inverse og transponeringer – operasjonene som forteller om en matrise kan «gjøres om».