行列の乗算と行列式
行列の乗算には%*%を、行列式の計算にはdet()を使います。
「行列の乗算と行列式」はCoddyKit上の無料R Academyレッスンです。 これはレッスン1/4です。 下記で完全なレッスンを無料で読むことができます。その後、ブラウザ内の組み込みコードエディタと24時間対応のAIチューターでハンズオン演習できます。 これはR Academy学習パスの一部であり、ウェブとCoddyKitアプリ全体で進捗が同期されます。 R Academyコースには全4レッスンが含まれています。
Rで行列を作成する
行列は2次元配列で、デフォルトでは列方向に順番に値が埋められます。matrix(data, nrow, ncol)を使用します。rownames()とcolnames()で行名と列名を付けられます。
# Create a 3x3 matrix (filled column-wise)
A <- matrix(c(1, 2, 3,
4, 5, 6,
7, 8, 9), nrow = 3, ncol = 3, byrow = TRUE)
print(A)
# [,1] [,2] [,3]
# [1,] 1 2 3
# [2,] 4 5 6
# [3,] 7 8 9
dim(A) # 3 3
nrow(A) # 3
ncol(A) # 3行列の乗算：%*%
%*%演算子は、行と列の内積による通常の行列乗算を実行します。*演算子は要素ごとの乗算であり、よくある間違いです。次元は適合している必要があります：(m×n) %*% (n×p) = (m×p)。
A <- matrix(c(1, 2, 3, 4), nrow = 2)
B <- matrix(c(5, 6, 7, 8), nrow = 2)
# Element-wise multiplication (NOT matrix mult)
A * B
# [,1] [,2]
# [1,] 5 21
# [2,] 12 32
# True matrix multiplication
A %*% B
# [,1] [,2]
# [1,] 19 43
# [2,] 22 50
# Verify: entry [1,1] = 1*5 + 2*6 = 17... wait:
# A[1,] = c(1,3), B[,1] = c(5,6): 1*5 + 3*6 = 23%*%の結果を理解する
行列の乗算を手作業で確認してみましょう。C = A %*% Bの(i,j)成分は、Aのi行目とBのj列目の内積です：sum(A[i,] * B[,j])。
A <- matrix(c(1, 2, 3, 4, 5, 6), nrow = 2, byrow = TRUE)
B <- matrix(c(7, 8, 9, 10, 11, 12), nrow = 3, byrow = TRUE)
# A is 2x3, B is 3x2 -> result is 2x2
C <- A %*% B
print(C)
# Verify entry C[1,1]:
# row 1 of A: c(1,2,3), col 1 of B: c(7,9,11)
manual_11 <- sum(A[1, ] * B[, 1])
manual_11 # 1*7 + 2*9 + 3*11 = 58
C[1, 1] # should match行列式：det()
行列式は、行列の拡大率を表すスカラー値です。det(A)で計算できます。det(A) == 0の場合、その行列は特異であり、逆行列を持ちません。2×2行列では、det = ad - bcです。
# 2x2 matrix: det = a*d - b*c
A <- matrix(c(3, 2, 1, 4), nrow = 2)
det(A) # 3*4 - 2*1 = 10
# Singular matrix: det = 0
S <- matrix(c(1, 2, 2, 4), nrow = 2)
det(S) # 0 -> not invertible
# Larger matrix
B <- matrix(c(2, -1, 0,
-1, 2, -1,
0, -1, 2), nrow = 3, byrow = TRUE)
det(B) # 4トレース：sum(diag())
行列のトレースは、対角成分の合計です。Rには行列用の組み込みtrace()はありません（別の関数です）。そのため、sum(diag(A))を使用します。トレースは固有値の合計に等しくなります。
A <- matrix(c(4, 2, 1,
3, 5, 0,
2, 1, 6), nrow = 3, byrow = TRUE)
# Extract diagonal elements
diag(A) # c(4, 5, 6)
# Trace = sum of diagonal
trace_A <- sum(diag(A))
trace_A # 15
# Trace = sum of eigenvalues (verify)
eigs <- eigen(A)$values
sum(Re(eigs)) # should also be approximately 15
# trace() in base R is NOT the matrix trace:
# trace(A) # this does something elsecrossprod()とtcrossprod()
crossprod(A, B)はt(A) %*% Bを効率的に計算します。これがクロス積です。tcrossprod(A, B)はA %*% t(B)を計算します。転置行列を作成せずに済むため、明示的に転置するより高速です。
A <- matrix(c(1, 2, 3, 4, 5, 6), nrow = 3)
B <- matrix(c(7, 8, 9, 10, 11, 12), nrow = 3)
# t(A) %*% B (the slow way)
result1 <- t(A) %*% B
# crossprod(A, B) = t(A) %*% B (faster)
result2 <- crossprod(A, B)
all.equal(result1, result2) # TRUE
# crossprod(A) = t(A) %*% A
ATA <- crossprod(A)
print(ATA)
# tcrossprod(A, B) = A %*% t(B)
result3 <- tcrossprod(A, B)
all.equal(A %*% t(B), result3) # TRUEdiag()で単位行列を作成する
diag(n)はn×nの単位行列を作成します。vがベクトルの場合のdiag(v)は、対角成分にvを持つ対角行列を作成します。Aが行列の場合のdiag(A)は、対角成分を抽出します。
# 3x3 identity matrix
I3 <- diag(3)
print(I3)
# [,1] [,2] [,3]
# [1,] 1 0 0
# [2,] 0 1 0
# [3,] 0 0 1
# A * I = A (identity property)
A <- matrix(c(2, 3, 4, 5), nrow = 2)
all.equal(A %*% diag(2), A) # TRUE
# Create diagonal matrix from vector
D <- diag(c(2, 5, 10))
print(D)
det(D) # Product of diagonal: 100行列の累乗と反復乗算
Rには組み込みの行列累乗演算子はありませんが、%*%をループで使って作成したり、expmパッケージを使用したりできます。行列の2乗A² = A %*% Aは、よく使われる演算です。
# Matrix square
A <- matrix(c(1, 1, 1, 0), nrow = 2)
A_sq <- A %*% A
print(A_sq)
# Fibonacci connection: A^n gives Fib numbers!
# Simple matrix power function
mat_pow <- function(M, n) {
result <- diag(nrow(M)) # start with identity
for (i in seq_len(n)) result <- result %*% M
result
}
mat_pow(A, 5) # A to the 5th power
# [1,] 8 5
# [2,] 5 3%o% による外積
外積 x %o% y は、要素 (i,j) = x[i] * y[j] となる行列を作成します。outer(x, y) と同等です。交互作用行列や特定の数学的構成を作成する際に便利です。
x <- c(1, 2, 3)
y <- c(10, 20)
# Outer product: 3x2 matrix
P <- x %o% y
print(P)
# [,1] [,2]
# [1,] 10 20
# [2,] 20 40
# [3,] 30 60
# Same as outer(x, y)
identical(P, outer(x, y)) # TRUE
# Outer with custom function
outer(1:3, 1:3, FUN = '+')
# [,1] [,2] [,3]
# [1,] 2 3 4
# [2,] 3 4 5
# [3,] 4 5 6行列式の性質
主な性質は次のとおりです。det(A %*% B) = det(A) * det(B)、det(t(A)) = det(A)、n×n 行列に対して det(k*A) = k^n * det(A) です。行基本変形を行うと、行列式は規則に従って変化します。
A <- matrix(c(2, 1, 5, 3), nrow = 2)
B <- matrix(c(4, 2, 1, 6), nrow = 2)
# det(A %*% B) = det(A) * det(B)
det(A %*% B)
det(A) * det(B)
# det(t(A)) = det(A)
det(t(A)); det(A)
# det(2A) = 2^n * det(A) for n=2
det(2 * A); 2^2 * det(A)
# det of upper triangular = product of diagonal
U <- matrix(c(3, 0, 0, 4, 2, 0, 1, 5, 7), nrow = 3, byrow = TRUE)
det(U); prod(diag(U)) # both = 42実践：正規方程式
線形回帰では、OLS 推定量は t(X) %*% X %*% beta = t(X) %*% y を解くことで求められます。これは行列の乗算を使用し、det(t(X)%*%X) != 0 という条件によって解が一意になることを保証します。
# Generate simple regression data
set.seed(42)
n <- 20
x <- runif(n, 0, 10)
y <- 2 + 3 * x + rnorm(n)
# Design matrix with intercept column
X <- cbind(1, x)
# Check det of X'X (should be nonzero)
XtX <- crossprod(X) # t(X) %*% X
det(XtX) # large positive value
# Solve normal equations: beta = solve(X'X) %*% X'y
Xty <- crossprod(X, y) # t(X) %*% y
beta <- solve(XtX) %*% Xty
beta # Should be close to c(2, 3)
# Compare with lm()
coef(lm(y ~ x)) # same result理解度チェック
R の行列演算について理解度を確認しましょう。
まとめ：行列演算
重要なポイント： 行列の乗算には %*% を使用します（* ではありません）。det(A) は行列式を返し、0 の場合は特異行列です。sum(diag(A)) はトレースを返します。crossprod(A,B) は t(A)%*%B を効率的に計算します。diag(n) は単位行列を作成し、diag(v) は対角行列を作成します。これらの演算は、回帰、PCA、その他多くの数値計算法の基盤となります。
A <- matrix(c(2, 1, 1, 3), nrow = 2)
B <- matrix(c(1, 0, 0, 1), nrow = 2) # Identity
# Core matrix operations summary:
A %*% B # matrix multiply -> A
det(A) # 2*3 - 1*1 = 5
sum(diag(A)) # trace = 2+3 = 5
crossprod(A) # t(A) %*% A
tcrossprod(A) # A %*% t(A)
diag(3) # 3x3 identity
diag(c(1,2,3)) # diagonal matrix
A %o% c(1, 2) # outer productよくある質問
「行列の乗算と行列式」レッスンは無料ですか？
はい。「行列の乗算と行列式」の完全なテキストはこのウェブで無料で読めます。インタラクティブに演習し（組み込みコードエディタと24時間対応のAIチューター）、R Academyコースの残りをアンロックするには、CoddyKit PROにアップグレードしてください。 R Academyコースには全4レッスンが含まれています。
「行列の乗算と行列式」で何を学びますか？
行列の乗算には%*%を、行列式の計算にはdet()を使います。 ブラウザで直接実行するハンズオンコードでR Academyを演習し、24時間対応のAIチューターがレッスンを進める中での質問に答えます。
R Academyを始めるのに経験は必要ですか？
事前経験は必要ありません。CoddyKitのR Academyは初級者から上級者向けに構成されているため、ここから始めるか最初から始めて、自分のペースで進むことができます。 これはレッスン1/4です。
「行列の乗算と行列式」レッスンにはどのくらい時間がかかりますか？
ほとんどのCoddyKitレッスンは約5～10分かかります。各レッスンはコンパクトでインタラクティブなので、着実に進歩し、ウェブとアプリ全体で正確に前回の場所から再開できます。
このR Academyレッスンでコードを書いて実行できますか？
はい。すべてのR Academyレッスンに組み込みコードエディタが含まれているため、ブラウザでリアルコードを書いて実行し、即座のAIフィードバックを取得できます。ローカル設定は不要です。