固有値と固有ベクトル
eigen() で固有分解を計算し、結果を解釈します。
「固有値と固有ベクトル」はCoddyKit上の無料R Academyレッスンです。 これはレッスン3/4です。 下記で完全なレッスンを無料で読むことができます。その後、ブラウザ内の組み込みコードエディタと24時間対応のAIチューターでハンズオン演習できます。 これはR Academy学習パスの一部であり、ウェブとCoddyKitアプリ全体で進捗が同期されます。 R Academyコースには全4レッスンが含まれています。
固有値とは
行列 A の固有ベクトル v とは、A を乗算したときに回転せず、伸縮だけするゼロでないベクトルです。これは Av = λv と表されます。スカラー λ が固有値です。固有値と固有ベクトルによって、行列が本来持つ伸縮の方向がわかります。
# Intuition: A simple scaling matrix
A <- matrix(c(3, 0,
0, 2), nrow = 2, byrow = TRUE)
# The eigenvectors are the standard basis vectors
# A * c(1,0) = 3 * c(1,0) -> eigenvalue 3
# A * c(0,1) = 2 * c(0,1) -> eigenvalue 2
v1 <- c(1, 0)
A %*% v1 # c(3, 0) = 3 * v1
v2 <- c(0, 1)
A %*% v2 # c(0, 2) = 2 * v2
cat('Eigenvalues of a diagonal matrix are its diagonal entries')eigen()：固有値の計算
eigen(A) は、$values（絶対値の大きい順に並んだ固有値）と $vectors（固有ベクトルを列として持つ行列）を含むリストを返します。固有ベクトルは長さ 1 に正規化されます。
A <- matrix(c(4, 1,
2, 3), nrow = 2, byrow = TRUE)
# Compute eigendecomposition
eig <- eigen(A)
# Eigenvalues
eig$values
# [1] 5 2 (descending order)
# Eigenvectors (columns)
eig$vectors
# [,1] [,2]
# [1,] 0.7071068 -0.4472136
# [2,] 0.7071068 0.8944272
cat('Each column is one eigenvector (unit length)')Av = lambda * v の検証
検証するには、A %*% v - lambda * v が実質的に 0 であることを確認します。浮動小数点演算の影響があるため、max(abs(...)) を使い、完全な一致ではなくマシンイプシロンに近い値かどうかを確認してください。
A <- matrix(c(4, 1,
2, 3), nrow = 2, byrow = TRUE)
eig <- eigen(A)
lambda1 <- eig$values[1] # 5
v1 <- eig$vectors[, 1]
# Verify: Av - lambda*v should be ~0
residual <- A %*% v1 - lambda1 * v1
max(abs(residual)) # ~ 1e-16
# Check all eigenpairs at once
# A V = V diag(lambda) where V = eigenvectors matrix
V <- eig$vectors
Lambda <- diag(eig$values)
err <- A %*% V - V %*% Lambda
max(abs(err)) # near zero対称行列：実固有値
対称行列（A = t(A)）の固有値は常に実数で、固有ベクトルは直交します。これはスペクトル定理として知られ、統計学では重要です（共分散行列は対称な半正定値行列です）。
# Symmetric matrix
S <- matrix(c(4, 2, 2,
2, 3, 1,
2, 1, 5), nrow = 3, byrow = TRUE)
# All symmetric: A = t(A)
all.equal(S, t(S)) # TRUE
# Eigenvalues are real
eig <- eigen(S)
eig$values # All real numbers
Im(eig$values) # All zero
# Eigenvectors are orthogonal: V'V = I
V <- eig$vectors
round(t(V) %*% V, 10) # Identity matrix
cat('Symmetric -> real eigenvalues, orthogonal eigenvectors')非対称行列：複素固有値
非対称行列は複素固有値を持つことがあります（複素共役のペアになります）。R はこれらを複素数として返します。実部は増大・減衰を、虚部は回転・振動を左右します。
# Rotation-like matrix -> complex eigenvalues
A <- matrix(c(0, -1,
1, 0), nrow = 2, byrow = TRUE)
# This is a 90-degree rotation matrix
eig <- eigen(A)
eig$values
# [1] 0+1i 0-1i (pure imaginary!)
# Real part: zero -> neither grows nor decays
Re(eig$values) # 0 0
# Imaginary part: indicates rotation
Im(eig$values) # 1 -1
# Another example: stable spiral
B <- matrix(c(-1, -2,
2, -1), nrow = 2, byrow = TRUE)
eigen(B)$values # -1 +/- 2i固有値分解 A = VLV^-1
対角化可能な行列 A は、A = V Λ V⁻¹ と表せます。ここで V は固有ベクトル行列、Λ = diag(eigenvalues) です。この分解により、行列の累乗 A^n = V Λ^n V⁻¹ を効率的に計算できます。
A <- matrix(c(4, 1,
2, 3), nrow = 2, byrow = TRUE)
eig <- eigen(A)
V <- eig$vectors
Lambda <- diag(eig$values)
# Reconstruct A = V %*% Lambda %*% solve(V)
A_reconstructed <- V %*% Lambda %*% solve(V)
all.equal(A, A_reconstructed) # TRUE
# Matrix power A^3 using eigendecomposition
A_cubed_eig <- V %*% diag(eig$values^3) %*% solve(V)
A_cubed_direct <- A %*% A %*% A
all.equal(Re(A_cubed_eig), A_cubed_direct) # TRUE共分散行列の固有値による PCA の概念
主成分分析（PCA）では、共分散行列の固有値分解を使用します。固有ベクトルは分散が最大となる方向（主成分）を示し、固有値は各方向の分散を示します。
set.seed(42)
# Correlated 2D data
x1 <- rnorm(100)
x2 <- 0.8 * x1 + 0.6 * rnorm(100)
X <- cbind(x1, x2)
# Covariance matrix
C <- cov(X)
print(round(C, 3))
# Eigendecomposition of covariance matrix
eig <- eigen(C)
cat('Eigenvalues (variance explained):\n')
print(eig$values)
cat('PC1 direction:\n')
print(eig$vectors[, 1])
# Variance explained by PC1
prop_var <- eig$values[1] / sum(eig$values)
cat('PC1 explains:', round(100 * prop_var, 1), '%')スペクトル半径
スペクトル半径 ρ(A) = max|λᵢ| は、固有値の絶対値の最大値です。反復アルゴリズムの安定性を決定し、ρ < 1 なら反復は収束し、ρ > 1 なら発散します。
spectral_radius <- function(A) {
max(Mod(eigen(A)$values))
}
# Convergent matrix: spectral radius < 1
A_conv <- matrix(c(0.5, 0.2,
0.1, 0.3), nrow = 2, byrow = TRUE)
spectral_radius(A_conv) # < 1 -> iterations converge
# Divergent matrix: spectral radius > 1
A_div <- matrix(c(2, 0.5,
0.3, 1.5), nrow = 2, byrow = TRUE)
spectral_radius(A_div) # > 1 -> iterations diverge
# For positive definite A, spectral radius = max eigenvalue
cat('Spectral radius determines iterative stability')固有値による行列式とトレース
行列式は固有値の積に等しく、トレースは固有値の和に等しくなります。これらの関係により、代数的な性質と固有値が結び付けられ、eigen() の結果を検算できます。
A <- matrix(c(5, 2,
1, 4), nrow = 2, byrow = TRUE)
eig_vals <- eigen(A)$values
# det(A) = product of eigenvalues
det(A)
prod(eig_vals) # Same!
# trace = sum of eigenvalues
sum(diag(A))
sum(eig_vals) # Same!
# For numeric precision, use Re() on complex
A2 <- matrix(c(3, -1, 2, 5), nrow = 2, byrow = TRUE)
ev <- eigen(A2)$values
all.equal(det(A2), prod(Re(ev)), tolerance = 1e-10)
all.equal(sum(diag(A2)), sum(Re(ev)), tolerance = 1e-10)正定値行列
対称行列が正定値（PD）であるとは、すべての固有値が正であることです。共分散行列は半正定値です（固有値 ≥ 0）。PD 行列は可逆で、コレスキー分解を持ちます。
# Check positive definiteness
is_positive_definite <- function(A) {
# Symmetric check
if (!isTRUE(all.equal(A, t(A)))) return(FALSE)
all(eigen(A)$values > 0)
}
# Positive definite covariance matrix
S <- matrix(c(4, 2,
2, 3), nrow = 2, byrow = TRUE)
is_positive_definite(S) # TRUE
eigen(S)$values # Both positive
# Not PD (one negative eigenvalue)
Q <- matrix(c(1, 3,
3, 2), nrow = 2, byrow = TRUE)
is_positive_definite(Q) # FALSE
eigen(Q)$values # One negative最大固有値を求めるべき乗法
大規模な行列では、すべての固有値を計算するのは高コストです。べき乗法は反復によって最大固有値を求める方法で、Google の PageRank アルゴリズムの基盤でもあります。A を繰り返し乗算し、その後正規化します。
# Power iteration: finds dominant eigenvalue
power_iteration <- function(A, tol = 1e-10, max_iter = 1000) {
n <- nrow(A)
v <- rnorm(n); v <- v / sqrt(sum(v^2)) # random unit vector
lambda_old <- 0
for (i in seq_len(max_iter)) {
w <- A %*% v
lambda <- max(abs(w))
v <- w / lambda
if (abs(lambda - lambda_old) < tol) break
lambda_old <- lambda
}
list(value = lambda, vector = v)
}
A <- matrix(c(4, 1, 2, 3), nrow = 2, byrow = TRUE)
result <- power_iteration(A)
result$value # Should be ~5 (dominant eigenvalue)
eigen(A)$values[1] # Compare理解度チェック
R における固有値と固有ベクトルについて理解度を確認しましょう。
まとめ：固有値と固有ベクトル
重要なポイント： eigen(A) は $values と $vectors を返します。A %*% v - lambda*v ≈ 0 で検証します。対称行列は実固有値と直交固有ベクトルを持ちます。非対称行列は複素固有値を持つことがあります。det(A) は固有値の積、trace は固有値の和です。PCA は共分散行列を分解します。正定値であることと、すべての固有値が > 0 であることは同値です。
A <- matrix(c(6, 2, 2, 3), nrow = 2)
eig <- eigen(A)
# Key eigen operations:
eig$values # eigenvalues
eig$vectors # eigenvectors (columns)
# Verify Av = lambda*v
v1 <- eig$vectors[, 1]
max(abs(A %*% v1 - eig$values[1] * v1)) # ~0
# Properties
all.equal(det(A), prod(eig$values)) # TRUE
all.equal(sum(diag(A)), sum(eig$values)) # TRUE
# Reconstruct A = V Lambda V^{-1}
V <- eig$vectors
all.equal(A, Re(V %*% diag(eig$values) %*% solve(V)))よくある質問
「固有値と固有ベクトル」レッスンは無料ですか？
はい。「固有値と固有ベクトル」の完全なテキストはこのウェブで無料で読めます。インタラクティブに演習し（組み込みコードエディタと24時間対応のAIチューター）、R Academyコースの残りをアンロックするには、CoddyKit PROにアップグレードしてください。 R Academyコースには全4レッスンが含まれています。
「固有値と固有ベクトル」で何を学びますか？
eigen() で固有分解を計算し、結果を解釈します。 ブラウザで直接実行するハンズオンコードでR Academyを演習し、24時間対応のAIチューターがレッスンを進める中での質問に答えます。
R Academyを始めるのに経験は必要ですか？
事前経験は必要ありません。CoddyKitのR Academyは初級者から上級者向けに構成されているため、ここから始めるか最初から始めて、自分のペースで進むことができます。 これはレッスン3/4です。
「固有値と固有ベクトル」レッスンにはどのくらい時間がかかりますか？
ほとんどのCoddyKitレッスンは約5～10分かかります。各レッスンはコンパクトでインタラクティブなので、着実に進歩し、ウェブとアプリ全体で正確に前回の場所から再開できます。
このR Academyレッスンでコードを書いて実行できますか？
はい。すべてのR Academyレッスンに組み込みコードエディタが含まれているため、ブラウザでリアルコードを書いて実行し、即座のAIフィードバックを取得できます。ローカル設定は不要です。