Multiplication matricielle et déterminants
Utilisez %*% pour la multiplication matricielle et det() pour calculer le déterminant.
Multiplication matricielle et déterminants est une leçon R Academy gratuite sur CoddyKit. Ceci est la leçon 1 sur 4. Tu peux lire la leçon complète ci-dessous gratuitement — puis la pratiquer en direct dans le navigateur avec un éditeur de code intégré et un tuteur IA 24/7. Elle fait partie du parcours d'apprentissage R Academy, et ta progression se synchronise sur le web et l'application CoddyKit. Le cours R Academy comprend 4 leçons au total.
Créer des matrices dans R
Par défaut, les matrices sont des tableaux à deux dimensions remplis colonne par colonne. Utilisez matrix(data, nrow, ncol). Vous pouvez nommer les lignes et les colonnes avec rownames() et colnames().
# Create a 3x3 matrix (filled column-wise)
A <- matrix(c(1, 2, 3,
4, 5, 6,
7, 8, 9), nrow = 3, ncol = 3, byrow = TRUE)
print(A)
# [,1] [,2] [,3]
# [1,] 1 2 3
# [2,] 4 5 6
# [3,] 7 8 9
dim(A) # 3 3
nrow(A) # 3
ncol(A) # 3Multiplication matricielle : %*%
L’opérateur %*% effectue une véritable multiplication matricielle (produit scalaire des lignes et des colonnes). L’opérateur * s’applique élément par élément — une erreur fréquente. Les dimensions doivent être compatibles : (m×n) %*% (n×p) = (m×p).
A <- matrix(c(1, 2, 3, 4), nrow = 2)
B <- matrix(c(5, 6, 7, 8), nrow = 2)
# Element-wise multiplication (NOT matrix mult)
A * B
# [,1] [,2]
# [1,] 5 21
# [2,] 12 32
# True matrix multiplication
A %*% B
# [,1] [,2]
# [1,] 19 43
# [2,] 22 50
# Verify: entry [1,1] = 1*5 + 2*6 = 17... wait:
# A[1,] = c(1,3), B[,1] = c(5,6): 1*5 + 3*6 = 23Comprendre les résultats de %*%
Vérifions manuellement la multiplication matricielle. L’entrée (i,j) de C = A %*% B est le produit scalaire de la ligne i de A par la colonne j de B : sum(A[i,] * B[,j]).
A <- matrix(c(1, 2, 3, 4, 5, 6), nrow = 2, byrow = TRUE)
B <- matrix(c(7, 8, 9, 10, 11, 12), nrow = 3, byrow = TRUE)
# A is 2x3, B is 3x2 -> result is 2x2
C <- A %*% B
print(C)
# Verify entry C[1,1]:
# row 1 of A: c(1,2,3), col 1 of B: c(7,9,11)
manual_11 <- sum(A[1, ] * B[, 1])
manual_11 # 1*7 + 2*9 + 3*11 = 58
C[1, 1] # should matchLe déterminant : det()
Le déterminant est une valeur scalaire qui représente le facteur d’échelle d’une matrice. det(A) le calcule. Si det(A) == 0, la matrice est singulière (non inversible). Pour une matrice 2×2, det = ad - bc.
# 2x2 matrix: det = a*d - b*c
A <- matrix(c(3, 2, 1, 4), nrow = 2)
det(A) # 3*4 - 2*1 = 10
# Singular matrix: det = 0
S <- matrix(c(1, 2, 2, 4), nrow = 2)
det(S) # 0 -> not invertible
# Larger matrix
B <- matrix(c(2, -1, 0,
-1, 2, -1,
0, -1, 2), nrow = 3, byrow = TRUE)
det(B) # 4La trace : sum(diag())
La trace d’une matrice est la somme de ses éléments diagonaux. R ne possède pas de fonction trace() intégrée pour les matrices (il s’agit d’une autre fonction) ; utilisez donc sum(diag(A)). La trace est égale à la somme des valeurs propres.
A <- matrix(c(4, 2, 1,
3, 5, 0,
2, 1, 6), nrow = 3, byrow = TRUE)
# Extract diagonal elements
diag(A) # c(4, 5, 6)
# Trace = sum of diagonal
trace_A <- sum(diag(A))
trace_A # 15
# Trace = sum of eigenvalues (verify)
eigs <- eigen(A)$values
sum(Re(eigs)) # should also be approximately 15
# trace() in base R is NOT the matrix trace:
# trace(A) # this does something elsecrossprod() et tcrossprod()
crossprod(A, B) calcule efficacement t(A) %*% B — le produit croisé. tcrossprod(A, B) calcule A %*% t(B). Ces fonctions sont plus rapides que la transposition explicite, car elles évitent de créer la matrice transposée.
A <- matrix(c(1, 2, 3, 4, 5, 6), nrow = 3)
B <- matrix(c(7, 8, 9, 10, 11, 12), nrow = 3)
# t(A) %*% B (the slow way)
result1 <- t(A) %*% B
# crossprod(A, B) = t(A) %*% B (faster)
result2 <- crossprod(A, B)
all.equal(result1, result2) # TRUE
# crossprod(A) = t(A) %*% A
ATA <- crossprod(A)
print(ATA)
# tcrossprod(A, B) = A %*% t(B)
result3 <- tcrossprod(A, B)
all.equal(A %*% t(B), result3) # TRUEMatrice identité avec diag()
diag(n) crée une matrice identité n×n. diag(v), où v est un vecteur, crée une matrice diagonale contenant v sur la diagonale. diag(A), où A est une matrice, en extrait la diagonale.
# 3x3 identity matrix
I3 <- diag(3)
print(I3)
# [,1] [,2] [,3]
# [1,] 1 0 0
# [2,] 0 1 0
# [3,] 0 0 1
# A * I = A (identity property)
A <- matrix(c(2, 3, 4, 5), nrow = 2)
all.equal(A %*% diag(2), A) # TRUE
# Create diagonal matrix from vector
D <- diag(c(2, 5, 10))
print(D)
det(D) # Product of diagonal: 100Puissance d’une matrice et multiplications répétées
R ne possède pas d’opérateur intégré d’élévation à une puissance matricielle, mais vous pouvez en écrire un en utilisant %*% dans une boucle ou employer le paquet expm. Le carré matriciel A² = A %*% A est une opération courante.
# Matrix square
A <- matrix(c(1, 1, 1, 0), nrow = 2)
A_sq <- A %*% A
print(A_sq)
# Fibonacci connection: A^n gives Fib numbers!
# Simple matrix power function
mat_pow <- function(M, n) {
result <- diag(nrow(M)) # start with identity
for (i in seq_len(n)) result <- result %*% M
result
}
mat_pow(A, 5) # A to the 5th power
# [1,] 8 5
# [2,] 5 3Produit extérieur avec %o%
Le produit extérieur x %o% y crée une matrice où l’élément (i,j) = x[i] * y[j]. Il est équivalent à outer(x, y). Il est utile pour créer des matrices d’interactions et certaines constructions mathématiques.
x <- c(1, 2, 3)
y <- c(10, 20)
# Outer product: 3x2 matrix
P <- x %o% y
print(P)
# [,1] [,2]
# [1,] 10 20
# [2,] 20 40
# [3,] 30 60
# Same as outer(x, y)
identical(P, outer(x, y)) # TRUE
# Outer with custom function
outer(1:3, 1:3, FUN = '+')
# [,1] [,2] [,3]
# [1,] 2 3 4
# [2,] 3 4 5
# [3,] 4 5 6Propriétés du déterminant
Propriétés principales : det(A %*% B) = det(A) * det(B) ; det(t(A)) = det(A) ; det(k*A) = k^n * det(A) pour une matrice n×n ; les opérations sur les lignes modifient det de manière prévisible.
A <- matrix(c(2, 1, 5, 3), nrow = 2)
B <- matrix(c(4, 2, 1, 6), nrow = 2)
# det(A %*% B) = det(A) * det(B)
det(A %*% B)
det(A) * det(B)
# det(t(A)) = det(A)
det(t(A)); det(A)
# det(2A) = 2^n * det(A) for n=2
det(2 * A); 2^2 * det(A)
# det of upper triangular = product of diagonal
U <- matrix(c(3, 0, 0, 4, 2, 0, 1, 5, 7), nrow = 3, byrow = TRUE)
det(U); prod(diag(U)) # both = 42En pratique : équations normales
Dans une régression linéaire, l’estimateur OLS résout t(X) %*% X %*% beta = t(X) %*% y. Cela utilise la multiplication matricielle et la condition det(t(X)%*%X) != 0 pour garantir une solution unique.
# Generate simple regression data
set.seed(42)
n <- 20
x <- runif(n, 0, 10)
y <- 2 + 3 * x + rnorm(n)
# Design matrix with intercept column
X <- cbind(1, x)
# Check det of X'X (should be nonzero)
XtX <- crossprod(X) # t(X) %*% X
det(XtX) # large positive value
# Solve normal equations: beta = solve(X'X) %*% X'y
Xty <- crossprod(X, y) # t(X) %*% y
beta <- solve(XtX) %*% Xty
beta # Should be close to c(2, 3)
# Compare with lm()
coef(lm(y ~ x)) # same resultVérification rapide
Testez votre compréhension des opérations matricielles dans R.
Récapitulatif : opérations matricielles
Points essentiels : utilisez %*% pour la multiplication matricielle, et non *. det(A) donne le déterminant : une valeur nulle signifie que la matrice est singulière. sum(diag(A)) donne la trace. crossprod(A,B) calcule efficacement t(A)%*%B. diag(n) crée la matrice identité ; diag(v) crée une matrice diagonale. Ces opérations sont à la base de la régression, de la PCA et de nombreuses méthodes numériques.
A <- matrix(c(2, 1, 1, 3), nrow = 2)
B <- matrix(c(1, 0, 0, 1), nrow = 2) # Identity
# Core matrix operations summary:
A %*% B # matrix multiply -> A
det(A) # 2*3 - 1*1 = 5
sum(diag(A)) # trace = 2+3 = 5
crossprod(A) # t(A) %*% A
tcrossprod(A) # A %*% t(A)
diag(3) # 3x3 identity
diag(c(1,2,3)) # diagonal matrix
A %o% c(1, 2) # outer productQuestions Fréquemment Posées
La leçon « Multiplication matricielle et déterminants » est-elle gratuite ?
Oui — le texte complet de « Multiplication matricielle et déterminants » est gratuit à lire ici sur le web. Pour la pratiquer de manière interactive (un éditeur de code intégré et un tuteur IA 24/7) et déverrouiller le reste du cours R Academy, passe à CoddyKit PRO. Le cours R Academy comprend 4 leçons au total.
Qu'est-ce que j'apprendrai dans « Multiplication matricielle et déterminants » ?
Utilisez %*% pour la multiplication matricielle et det() pour calculer le déterminant. Tu pratiques R Academy avec du code pratique que tu exécutes directement dans le navigateur, et un tuteur IA 24/7 répond à tes questions au fur et à mesure que tu avances dans la leçon.
Dois-je avoir de l'expérience pour commencer R Academy ?
Aucune expérience préalable n'est requise. R Academy sur CoddyKit est structuré pour les débutants jusqu'aux apprenants avancés, donc tu peux commencer ici ou depuis le début et avancer à ton rythme. Ceci est la leçon 1 sur 4.
Combien de temps prend la leçon « Multiplication matricielle et déterminants » ?
La plupart des leçons CoddyKit prennent environ 5–10 minutes. Chacune est courte et interactive, tu progresses régulièrement et tu repiques exactement où tu t'es arrêté sur le web et l'app.
Peux-tu écrire et exécuter du code dans cette leçon R Academy ?
Oui. Chaque leçon R Academy inclut un éditeur de code intégré, tu écris et exécutes du vrai code directement dans ton navigateur et tu reçois des retours IA instantanés — aucune configuration locale requise.
Toutes les leçons de ce cours
- Multiplication matricielle et déterminants
- Résoudre des systèmes linéaires avec solve()
- Valeurs propres et vecteurs propres
- Décompositions SVD, QR et de Cholesky