Determinantes, inversas y transpuestas

La transpuesta de una matriz la voltea sobre su diagonal: las filas se convierten en columnas y las columnas, en filas. Si A tiene dimensión (m, n), entonces A.T tiene dimensión (n, m). Las transpuestas aparecen en todas partes del álgebra lineal: al calcular matrices de covarianza, implementar la retropropagación del gradiente y convertir entre las convenciones de vector fila y vector columna. NumPy accede a la transpuesta mediante el atributo .T; no se realiza ninguna copia, sino que se trata simplemente de una vista con los strides reordenados.

Un patrón frecuente es calcular A.T @ A, lo que produce una matriz cuadrada simétrica que aparece en la regresión por mínimos cuadrados, el PCA y las ecuaciones normales. Si A tiene dimensión (n, p), entonces A.T @ A tiene dimensión (p, p). El resultado siempre es simétrico porque (A.T @ A)[i,j] == (A.T @ A)[j,i]. Muchos solucionadores numéricos aprovechan esta propiedad para mejorar la eficiencia.

El determinante de una matriz cuadrada es un valor escalar que contiene información geométrica: mide el factor por el que la matriz escala las áreas (en 2D) o los volúmenes (en dimensiones superiores). Un determinante igual a cero significa que la matriz es singular: colapsa el espacio sobre un subespacio de menor dimensión y no tiene inversa. Un determinante distinto de cero garantiza que la matriz es invertible. NumPy lo calcula con np.linalg.det().

La inversa de una matriz A, escrita como A⁻¹, cumple A @ A⁻¹ = I, donde I es la matriz identidad. Las inversas solo existen para matrices cuadradas y no singulares. np.linalg.inv(A) calcula la inversa numéricamente. En la práctica, rara vez debería calcular las inversas de forma explícita, porque es numéricamente inestable; en su lugar, prefiera np.linalg.solve() para resolver sistemas de ecuaciones. Sin embargo, comprender conceptualmente las inversas es fundamental.

Calcular la inversa de una matriz y después multiplicarla introduce errores de coma flotante que se acumulan. Por ejemplo, resolver A_inv @ b es menos preciso que llamar directamente a np.linalg.solve(A, b). Una matriz bien condicionada (cuyo determinante está lejos de cero) es menos sensible a estos errores. El número de condición (np.linalg.cond(A)) cuantifica lo cerca que está una matriz de ser singular; los números de condición altos indican problemas numéricos.

Una clase especial de matrices son las matrices ortogonales, para las que A.T @ A = I. Esto significa que la transpuesta ES la inversa, por lo que las matrices ortogonales son extremadamente fáciles de invertir. Las matrices de rotación y el factor Q de la descomposición QR son ortogonales. Las columnas de una matriz ortogonal forman una base ortonormal: cada columna tiene longitud unitaria y es perpendicular a todas las demás.

Una inversa convencional solo existe para matrices cuadradas, pero la pseudoinversa de Moore-Penrose generaliza la inversión a cualquier matriz. np.linalg.pinv(A) la calcula mediante SVD. Es la base de la solución de mínimos cuadrados para sistemas sobredeterminados (con más ecuaciones que incógnitas), que es exactamente lo que resuelve la regresión lineal. Si A es cuadrada e invertible, pinv(A) es igual a inv(A).

El signo del determinante indica si la transformación conserva o invierte la orientación. Un determinante positivo significa que se conserva la orientación (como en una rotación); uno negativo significa que la orientación se invierte (como en una reflexión). El valor absoluto proporciona el factor de escala del volumen. Para una matriz 2×2 [[a,b],[c,d]], det = a*d - b*c. NumPy gestiona eficazmente matrices cuadradas de cualquier tamaño.

En matrices grandes, el determinante puede desbordarse o reducirse por debajo del rango hasta convertirse en cero, incluso cuando la matriz no es singular. np.linalg.slogdet(A) devuelve (sign, log_abs_det): el signo y el logaritmo natural del determinante absoluto, lo que evita el desbordamiento numérico. Se utiliza ampliamente en modelos probabilísticos (verosimilitudes gaussianas), donde se trabaja en el espacio logarítmico para mantener los números dentro de un rango manejable.

Para una matriz 2×2 [[a, b], [c, d]], la inversa es (1/det) * [[d, -b], [-c, a]], donde det = ad - bc. Conocer esta fórmula le ayuda a comprobar rápidamente el resultado de NumPy. Para matrices mayores, calcular la inversa analíticamente no es práctico; precisamente por eso usamos np.linalg.inv(). Verifique siempre los resultados numéricos con np.allclose(A @ A_inv, np.eye(n)).

Un patrón habitual del álgebra lineal combina la transpuesta y la inversa: calcular (A.T @ A)⁻¹ @ A.T proporciona la matriz de proyección utilizada en los mínimos cuadrados ordinarios. En NumPy, esto se puede escribir como np.linalg.inv(A.T @ A) @ A.T, pero, una vez más, np.linalg.lstsq es numéricamente preferible. Conocer el patrón subyacente le ayuda a entender qué hace el solucionador y a depurar problemas cuando las matrices están cerca de ser singulares.

Compruebe sus conocimientos sobre los conceptos de análisis de datos de esta lección.

En esta lección ha aprendido que A.T es la transpuesta que intercambia filas y columnas, que np.linalg.inv() calcula la inversa de una matriz, pero rara vez debería utilizarse directamente (prefiera solve o lstsq), y que np.linalg.det() devuelve el determinante, que es cero para las matrices singulares. A continuación exploraremos cómo resolver directamente sistemas lineales con np.linalg.solve.