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R Academy · Aula

Autovalores e autovetores

Calcule decomposições espectrais com eigen() e interprete os resultados.

Autovalores e autovetores é uma aula grátis de R Academy no CoddyKit. Esta é a aula 3 de 4. Você pode ler a aula completa abaixo gratuitamente — depois pratica ao vivo no navegador com um editor de código integrado e um tutor de IA 24/7. Faz parte do caminho de aprendizado de R Academy, e seu progresso é sincronizado entre a web e o app CoddyKit. O curso de R Academy inclui 4 aulas no total.

O que são autovalores?

Um autovetor v da matriz A é um vetor não nulo que apenas sofre uma escala (não uma rotação) quando multiplicado por A: Av = λv. O escalar λ é o autovalor. Os autovalores e autovetores revelam as direções intrínsecas de expansão de uma matriz.

# Intuition: A simple scaling matrix
A <- matrix(c(3, 0,
              0, 2), nrow = 2, byrow = TRUE)

# The eigenvectors are the standard basis vectors
# A * c(1,0) = 3 * c(1,0)  -> eigenvalue 3
# A * c(0,1) = 2 * c(0,1)  -> eigenvalue 2

v1 <- c(1, 0)
A %*% v1  # c(3, 0) = 3 * v1

v2 <- c(0, 1)
A %*% v2  # c(0, 2) = 2 * v2

cat('Eigenvalues of a diagonal matrix are its diagonal entries')

eigen(): calculando autovalores

eigen(A) retorna uma lista com $values (autovalores ordenados por magnitude decrescente) e $vectors (matriz cujas colunas são os autovetores). Os autovetores são normalizados para ter comprimento unitário.

A <- matrix(c(4, 1,
              2, 3), nrow = 2, byrow = TRUE)

# Compute eigendecomposition
eig <- eigen(A)

# Eigenvalues
eig$values
# [1] 5 2  (descending order)

# Eigenvectors (columns)
eig$vectors
#           [,1]       [,2]
# [1,] 0.7071068 -0.4472136
# [2,] 0.7071068  0.8944272

cat('Each column is one eigenvector (unit length)')

Verificando Av = lambda * v

Para verificar, confira se A %*% v - lambda * v é essencialmente zero. Devido à aritmética de ponto flutuante, use max(abs(...)) e verifique se o resultado está próximo do épsilon da máquina, em vez de testar a igualdade exata.

A <- matrix(c(4, 1,
              2, 3), nrow = 2, byrow = TRUE)
eig <- eigen(A)

lambda1 <- eig$values[1]   # 5
v1      <- eig$vectors[, 1]

# Verify: Av - lambda*v should be ~0
residual <- A %*% v1 - lambda1 * v1
max(abs(residual))  # ~ 1e-16

# Check all eigenpairs at once
# A V = V diag(lambda) where V = eigenvectors matrix
V <- eig$vectors
Lambda <- diag(eig$values)
err <- A %*% V - V %*% Lambda
max(abs(err))  # near zero

Matrizes simétricas: autovalores reais

Matrizes simétricas (A = t(A)) sempre têm autovalores reais e autovetores ortogonais. Esse é o teorema espectral — essencial em estatística, pois matrizes de covariância são semidefinidas positivas.

# Symmetric matrix
S <- matrix(c(4, 2, 2,
              2, 3, 1,
              2, 1, 5), nrow = 3, byrow = TRUE)

# All symmetric: A = t(A)
all.equal(S, t(S))  # TRUE

# Eigenvalues are real
eig <- eigen(S)
eig$values  # All real numbers
Im(eig$values)  # All zero

# Eigenvectors are orthogonal: V'V = I
V <- eig$vectors
round(t(V) %*% V, 10)  # Identity matrix
cat('Symmetric -> real eigenvalues, orthogonal eigenvectors')

Matrizes assimétricas: autovalores complexos

Matrizes não simétricas podem ter autovalores complexos (em pares de conjugados complexos). R retorna esses valores como números complexos. A parte real determina o crescimento ou decaimento; a parte imaginária determina a rotação ou oscilação.

# Rotation-like matrix -> complex eigenvalues
A <- matrix(c(0, -1,
              1,  0), nrow = 2, byrow = TRUE)
# This is a 90-degree rotation matrix
eig <- eigen(A)
eig$values
# [1] 0+1i 0-1i  (pure imaginary!)

# Real part: zero -> neither grows nor decays
Re(eig$values)  # 0 0

# Imaginary part: indicates rotation
Im(eig$values)  # 1 -1

# Another example: stable spiral
B <- matrix(c(-1, -2,
               2, -1), nrow = 2, byrow = TRUE)
eigen(B)$values  # -1 +/- 2i

Decomposição em autovalores A = VLV^-1

Uma matriz diagonalizável A pode ser escrita como A = V Λ V⁻¹, em que V é a matriz de autovetores e Λ = diag(eigenvalues). Essa decomposição permite calcular potências de matrizes: A^n = V Λ^n V⁻¹.

A <- matrix(c(4, 1,
              2, 3), nrow = 2, byrow = TRUE)
eig <- eigen(A)
V      <- eig$vectors
Lambda <- diag(eig$values)

# Reconstruct A = V %*% Lambda %*% solve(V)
A_reconstructed <- V %*% Lambda %*% solve(V)
all.equal(A, A_reconstructed)  # TRUE

# Matrix power A^3 using eigendecomposition
A_cubed_eig <- V %*% diag(eig$values^3) %*% solve(V)
A_cubed_direct <- A %*% A %*% A
all.equal(Re(A_cubed_eig), A_cubed_direct)  # TRUE

Conceito de PCA por meio dos autovalores da covariância

A Análise de Componentes Principais (PCA) usa a decomposição em autovalores da matriz de covariância. Os autovetores fornecem as direções de variância máxima (os componentes principais); os autovalores fornecem a variância em cada direção.

set.seed(42)
# Correlated 2D data
x1 <- rnorm(100)
x2 <- 0.8 * x1 + 0.6 * rnorm(100)
X <- cbind(x1, x2)

# Covariance matrix
C <- cov(X)
print(round(C, 3))

# Eigendecomposition of covariance matrix
eig <- eigen(C)
cat('Eigenvalues (variance explained):\n')
print(eig$values)
cat('PC1 direction:\n')
print(eig$vectors[, 1])

# Variance explained by PC1
prop_var <- eig$values[1] / sum(eig$values)
cat('PC1 explains:', round(100 * prop_var, 1), '%')

Raio espectral

O raio espectral ρ(A) = max|λᵢ| é o maior autovalor em valor absoluto. Ele determina a estabilidade em algoritmos iterativos: se ρ < 1, as iterações convergem; se ρ > 1, divergem.

spectral_radius <- function(A) {
  max(Mod(eigen(A)$values))
}

# Convergent matrix: spectral radius < 1
A_conv <- matrix(c(0.5, 0.2,
                   0.1, 0.3), nrow = 2, byrow = TRUE)
spectral_radius(A_conv)  # < 1 -> iterations converge

# Divergent matrix: spectral radius > 1
A_div <- matrix(c(2, 0.5,
                  0.3, 1.5), nrow = 2, byrow = TRUE)
spectral_radius(A_div)  # > 1 -> iterations diverge

# For positive definite A, spectral radius = max eigenvalue
cat('Spectral radius determines iterative stability')

Determinante e traço por meio dos autovalores

O determinante é igual ao produto dos autovalores; o traço é igual à soma deles. Essas relações conectam propriedades algébricas aos autovalores e fornecem verificações de consistência para seus resultados de eigen().

A <- matrix(c(5, 2,
              1, 4), nrow = 2, byrow = TRUE)
eig_vals <- eigen(A)$values

# det(A) = product of eigenvalues
det(A)
prod(eig_vals)  # Same!

# trace = sum of eigenvalues
sum(diag(A))
sum(eig_vals)  # Same!

# For numeric precision, use Re() on complex
A2 <- matrix(c(3, -1, 2, 5), nrow = 2, byrow = TRUE)
ev <- eigen(A2)$values
all.equal(det(A2), prod(Re(ev)), tolerance = 1e-10)
all.equal(sum(diag(A2)), sum(Re(ev)), tolerance = 1e-10)

Matrizes definidas positivas

Uma matriz simétrica é definida positiva (PD) se todos os autovalores forem positivos. Matrizes de covariância são semidefinidas positivas (autovalores ≥ 0). Matrizes PD são invertíveis e têm decomposições de Cholesky.

# Check positive definiteness
is_positive_definite <- function(A) {
  # Symmetric check
  if (!isTRUE(all.equal(A, t(A)))) return(FALSE)
  all(eigen(A)$values > 0)
}

# Positive definite covariance matrix
S <- matrix(c(4, 2,
              2, 3), nrow = 2, byrow = TRUE)
is_positive_definite(S)  # TRUE
eigen(S)$values  # Both positive

# Not PD (one negative eigenvalue)
Q <- matrix(c(1, 3,
              3, 2), nrow = 2, byrow = TRUE)
is_positive_definite(Q)  # FALSE
eigen(Q)$values  # One negative

Iteração de potência para o autovalor dominante

Para matrizes grandes, calcular todos os autovalores é dispendioso. A iteração de potência encontra iterativamente o maior autovalor — ela é a base do algoritmo PageRank do Google. Multiplique repetidamente por A e depois normalize.

# Power iteration: finds dominant eigenvalue
power_iteration <- function(A, tol = 1e-10, max_iter = 1000) {
  n <- nrow(A)
  v <- rnorm(n); v <- v / sqrt(sum(v^2))  # random unit vector
  lambda_old <- 0
  for (i in seq_len(max_iter)) {
    w <- A %*% v
    lambda <- max(abs(w))
    v <- w / lambda
    if (abs(lambda - lambda_old) < tol) break
    lambda_old <- lambda
  }
  list(value = lambda, vector = v)
}

A <- matrix(c(4, 1, 2, 3), nrow = 2, byrow = TRUE)
result <- power_iteration(A)
result$value  # Should be ~5 (dominant eigenvalue)
eigen(A)$values[1]  # Compare

Verificação rápida

Teste sua compreensão de autovalores e autovetores em R.

Recapitulação: autovalores e autovetores

Principais conclusões: eigen(A) retorna $values e $vectors. Verifique com A %*% v - lambda*v ≈ 0. Matrizes simétricas têm autovalores reais e autovetores ortogonais. Matrizes não simétricas podem ter autovalores complexos. det(A) = produto dos autovalores; traço = soma. A PCA decompõe a matriz de covariância. Definida positiva ↔ todos os autovalores > 0.

A <- matrix(c(6, 2, 2, 3), nrow = 2)
eig <- eigen(A)

# Key eigen operations:
eig$values    # eigenvalues
eig$vectors   # eigenvectors (columns)

# Verify Av = lambda*v
v1 <- eig$vectors[, 1]
max(abs(A %*% v1 - eig$values[1] * v1))  # ~0

# Properties
all.equal(det(A), prod(eig$values))       # TRUE
all.equal(sum(diag(A)), sum(eig$values))  # TRUE

# Reconstruct A = V Lambda V^{-1}
V <- eig$vectors
all.equal(A, Re(V %*% diag(eig$values) %*% solve(V)))

Perguntas Frequentes

A aula “Autovalores e autovetores” é grátis?

Sim — o texto completo de “Autovalores e autovetores” é grátis para ler aqui na web. Para praticá-la interativamente (um editor de código integrado e um tutor de IA 24/7) e desbloquear o restante do curso de R Academy, atualize para CoddyKit PRO. O curso de R Academy inclui 4 aulas no total.

O que vou aprender em “Autovalores e autovetores”?

Calcule decomposições espectrais com eigen() e interprete os resultados. Você pratica R Academy com código prático que executa diretamente no navegador, e um tutor de IA 24/7 responde suas dúvidas enquanto trabalha na aula.

Preciso ter experiência prévia para começar R Academy?

Nenhuma experiência prévia é necessária. R Academy no CoddyKit é estruturado para alunos iniciantes até avançados, então você pode começar aqui ou desde o início e aprender no seu ritmo. Esta é a aula 3 de 4.

Quanto tempo leva a aula “Autovalores e autovetores”?

A maioria das aulas CoddyKit leva cerca de 5–10 minutos. Cada uma é compacta e interativa, então você faz progresso constante e retoma exatamente de onde parou entre web e app.

Posso escrever e executar código nesta aula de R Academy?

Sim. Cada aula de R Academy inclui um editor de código integrado, então você escreve e executa código real direto no navegador e recebe feedback de IA instantaneamente — nenhuma configuração local necessária.

Todas as aulas deste curso

  1. Multiplicação de matrizes e determinantes
  2. Resolvendo sistemas lineares com solve()
  3. Autovalores e autovetores
  4. Decomposições SVD, QR e de Cholesky
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