Fondamenti della simulazione Monte Carlo
Stimi pi greco e altre quantità tramite campionamenti casuali ripetuti
Fondamenti della simulazione Monte Carlo è una lezione R Academy gratuita su CoddyKit. Questa è la lezione 3 di 4. Puoi leggere la lezione completa qui gratuitamente — poi esercitati direttamente nel browser con un editor di codice integrato e un tutor IA disponibile 24/7. Fa parte del percorso di apprendimento R Academy, e i tuoi progressi si sincronizzano tra il web e l'app CoddyKit. Il corso R Academy include 4 lezioni in totale.
Che cos'è Monte Carlo?
La simulazione Monte Carlo utilizza campionamenti casuali ripetuti per stimare quantità difficili da calcolare analiticamente. Prende il nome dal casinò di Monaco ed è utilizzata in finanza, fisica, statistica e IA per integrazione, ottimizzazione e inferenza.
# Core idea: approximate deterministic quantities
# using random sampling and the Law of Large Numbers
# Example: estimate probability that sum of two dice > 8
set.seed(42)
n <- 10000
die1 <- sample(1:6, n, replace = TRUE)
die2 <- sample(1:6, n, replace = TRUE)
total <- die1 + die2
# Monte Carlo estimate
mc_estimate <- mean(total > 8)
cat('MC estimate P(sum > 8):', mc_estimate, '\n')
# Exact probability
exact <- sum(outer(1:6, 1:6, '+') > 8) / 36
cat('Exact probability:', exact)Stimare π con punti casuali
La classica dimostrazione Monte Carlo: disponga casualmente punti in un quadrato unitario. La frazione che cade all'interno del cerchio unitario stima π/4. Quando n → ∞, la stima converge a π.
set.seed(42)
n <- 100000
# Random points in [-1, 1] x [-1, 1] unit square
x <- runif(n, -1, 1)
y <- runif(n, -1, 1)
# Check if inside unit circle: x^2 + y^2 <= 1
inside <- (x^2 + y^2) <= 1
# Pi estimate: fraction inside * area of square
pi_estimate <- 4 * mean(inside)
cat('Pi estimate:', pi_estimate, '\n')
cat('True pi:', pi, '\n')
cat('Error:', abs(pi_estimate - pi))Stimare il valore atteso
Integrazione Monte Carlo: E[f(X)] ≈ (1/n) Σ f(Xᵢ), dove X₁,...,Xₙ sono estrazioni iid. Per integrare g(x) da a a b: campioni x da Uniform(a,b), quindi E[g(X)] ≈ (b-a) * mean(g(samples)).
set.seed(42)
# Estimate integral of sin(x) from 0 to pi
# Exact value = 2
n <- 50000
x_samples <- runif(n, min = 0, max = pi)
integrand_vals <- sin(x_samples)
# MC estimate = (b-a) * mean(f(x))
mc_integral <- pi * mean(integrand_vals) # (pi - 0) * mean
cat('MC estimate of integral:', mc_integral, '\n')
cat('Exact value: 2\n')
cat('Error:', abs(mc_integral - 2), '\n')
# Standard error of the estimate
se <- pi * sd(integrand_vals) / sqrt(n)
cat('Standard error:', se)replicate() per simulazioni ripetute
replicate(n, expr) è la funzione integrata di R per eseguire una simulazione n volte e raccogliere i risultati. È più chiara di un ciclo for per le simulazioni semplici e restituisce un vettore o una matrice.
set.seed(42)
# Simulate sample mean of 30 N(0,1) draws
# Repeat 10000 times to study sampling distribution
sample_means <- replicate(10000, {
x <- rnorm(30) # sample of 30
mean(x) # compute mean
})
# Central Limit Theorem: sample mean ~ N(0, 1/sqrt(30))
mean(sample_means) # ~0
sd(sample_means) # ~1/sqrt(30) = 0.183
# 95% CI width
diff(quantile(sample_means, c(0.025, 0.975)))
# Compare to theoretical
2 * 1.96 / sqrt(30)Dimostrazione della legge dei grandi numeri
La legge dei grandi numeri afferma che la media campionaria converge alla media vera all'aumentare di n. Osservare questa convergenza in R mostra perché Monte Carlo funziona e quanto rapidamente si stabilizzano le stime.
set.seed(42)
# Rolling a fair die: true mean = 3.5
n_max <- 10000
rolls <- sample(1:6, n_max, replace = TRUE)
cumulative_means <- cumsum(rolls) / seq_along(rolls)
# Show convergence at different sample sizes
ns <- c(10, 100, 1000, 5000, 10000)
results <- data.frame(
n = ns,
mean = cumulative_means[ns],
error = abs(cumulative_means[ns] - 3.5)
)
print(results)
# Error decreases as n increasesRiduzione della varianza: variabili antitetiche
Utilizzi campioni uniformi u e i loro complementi (1-u) come coppia antitetica. La loro correlazione negativa riduce la varianza dello stimatore fino al 50%, con lo stesso numero di valutazioni della funzione.
set.seed(42)
n <- 1000
# Standard MC: estimate E[exp(U)] where U~Uniform(0,1)
# True value = e - 1 = 1.718282
u <- runif(n)
mc_std <- mean(exp(u))
# Antithetic variates: use u AND 1-u
u_anti <- runif(n/2)
mc_anti <- mean((exp(u_anti) + exp(1 - u_anti)) / 2)
cat('True value:', exp(1) - 1, '\n')
cat('Standard MC:', mc_std, '\n')
cat('Antithetic MC:', mc_anti, '\n')
# Variance comparison
var_std <- var(exp(runif(10000)))
var_anti <- var((exp(runif(5000)) + exp(1 - runif(5000)))/2)
cat('Variance ratio (anti/std):', var_anti/var_std)Variabili di controllo
Una variabile di controllo è una funzione con valore atteso noto, correlata con la quantità obiettivo. La sottragga, opportunamente scalata, per ridurre la varianza. Un esempio classico consiste nello stimare E[f(X)] usando g(X), correlata e con media nota.
set.seed(42)
n <- 5000
# Estimate E[exp(U)] where U~Uniform(0,1)
# True: e - 1 = 1.71828
# Control variate: g(U) = U, E[U] = 0.5
u <- runif(n)
f_vals <- exp(u) # target
g_vals <- u # control variate
# Optimal coefficient c = -Cov(f,g)/Var(g)
c_star <- -cov(f_vals, g_vals) / var(g_vals)
# Control variate estimator
mc_cv <- mean(f_vals + c_star * (g_vals - 0.5))
cat('Standard MC:', mean(f_vals), '\n')
cat('Control variate MC:', mc_cv, '\n')
cat('True value:', exp(1) - 1)
# Variance reduction factor
var(f_vals) / var(f_vals + c_star * (g_vals - 0.5))Monte Carlo per la stima delle probabilità
Monte Carlo è particolarmente efficace per stimare probabilità complesse che non sono trattabili analiticamente. Simuli il processo casuale molte volte e calcoli la frazione di volte in cui si verifica l'evento.
set.seed(123)
# Birthday problem: P(at least 2 people share birthday)
# in a group of n people
birtday_collision <- function(n_people) {
birthdays <- sample(1:365, n_people, replace = TRUE)
length(birthdays) != length(unique(birthdays))
}
# Estimate for groups of size 10, 23, 50
sizes <- c(10, 23, 50)
for (sz in sizes) {
p <- mean(replicate(5000, birt_day_collision <- {
bd <- sample(1:365, sz, replace = TRUE)
length(bd) != length(unique(bd))
}))
cat('n =', sz, ': P(collision) ~', round(p, 3), '\n')
}Simulare il moto browniano geometrico
I prezzi delle azioni sono spesso modellati come moto browniano geometrico: S(t+dt) = S(t) * exp((μ - σ²/2)dt + σ√dt * Z), dove Z~N(0,1). Monte Carlo genera percorsi dei prezzi per la valutazione delle opzioni.
set.seed(42)
S0 <- 100 # initial price
mu <- 0.05 # annual drift
sigma <- 0.2 # annual volatility
T <- 1 # 1 year
n_steps <- 252 # daily steps
dt <- T / n_steps
# Simulate one price path
Z <- rnorm(n_steps)
log_returns <- (mu - 0.5 * sigma^2) * dt + sigma * sqrt(dt) * Z
price_path <- S0 * exp(cumsum(log_returns))
cat('Final price:', round(price_path[n_steps], 2), '\n')
cat('Min price:', round(min(price_path), 2), '\n')
cat('Max price:', round(max(price_path), 2))Valutazione delle opzioni con MC
Valuti un'opzione call europea con Monte Carlo: simuli molti prezzi finali dell'azione, calcoli i payoff max(S_T - K, 0), quindi attualizzi il payoff medio con e^(-rT).
set.seed(42)
S0 <- 100; K <- 105; r <- 0.05; sigma <- 0.2; T <- 1
n_sim <- 50000
# Final stock prices under risk-neutral measure
Z <- rnorm(n_sim)
ST <- S0 * exp((r - 0.5 * sigma^2) * T + sigma * sqrt(T) * Z)
# Call option payoff
payoff <- pmax(ST - K, 0)
# Discounted expected payoff
call_price <- exp(-r * T) * mean(payoff)
se <- exp(-r * T) * sd(payoff) / sqrt(n_sim)
cat('Call price:', round(call_price, 4), '\n')
cat('95% CI: [', round(call_price - 1.96*se, 4),
',', round(call_price + 1.96*se, 4), ']')Tasso di convergenza di MC
Monte Carlo converge al tasso O(1/√n): per dimezzare l'errore sono necessari 4× campioni in più. L'errore standard della stima MC è σ/√n, dove σ è la deviazione standard dell'integranda.
set.seed(42)
# Demonstrate MC convergence for pi estimation
estimate_pi <- function(n) {
x <- runif(n, -1, 1)
y <- runif(n, -1, 1)
4 * mean(x^2 + y^2 <= 1)
}
# Sample sizes: powers of 10
ns <- 10^(1:5)
estimates <- sapply(ns, function(n) {
set.seed(42)
estimate_pi(n)
})
data.frame(
n = ns,
pi_estimate = round(estimates, 5),
error = round(abs(estimates - pi), 5)
)Verifica rapida
Verifichi la Sua comprensione dei fondamenti della simulazione Monte Carlo.
Riepilogo: fondamenti di Monte Carlo
Punti chiave: Monte Carlo stima le quantità calcolando la media su molti campioni casuali. Utilizzi replicate() per le simulazioni ripetute. La legge dei grandi numeri garantisce la convergenza. L'errore varia come 1/√n: quadruplicare i campioni dimezza l'errore. Le tecniche di riduzione della varianza (variabili antitetiche e variabili di controllo) migliorano l'efficienza senza aumentare il numero di campioni. Applicazioni: integrazione, stima delle probabilità, valutazione delle opzioni, simulazione.
set.seed(42)
# Monte Carlo template:
# 1. Define simulation function
simulate_once <- function() {
x <- runif(1, -1, 1)
y <- runif(1, -1, 1)
(x^2 + y^2) <= 1
}
# 2. Replicate many times
n <- 10000
results <- replicate(n, simulate_once())
# 3. Estimate quantity of interest
pi_mc <- 4 * mean(results)
# 4. Quantify uncertainty
se <- 4 * sd(results) / sqrt(n)
cat('Pi:', pi_mc, '+/-', round(1.96*se, 4))Domande Frequenti
La lezione «Fondamenti della simulazione Monte Carlo» è gratuita?
Sì — il testo completo di «Fondamenti della simulazione Monte Carlo» è gratuito qui sul web. Per esercitarvi in modo interattivo (un editor di codice integrato e un tutor IA 24/7) e sbloccare il resto del corso R Academy, passa a CoddyKit PRO. Il corso R Academy include 4 lezioni in totale.
Cosa imparerò in «Fondamenti della simulazione Monte Carlo»?
Stimi pi greco e altre quantità tramite campionamenti casuali ripetuti Eserciti R Academy con codice pratico che esegui direttamente nel browser, e un tutor IA 24/7 risponde alle tue domande mentre lavori sulla lezione.
Ho bisogno di esperienza per iniziare R Academy?
Non è richiesta alcuna esperienza precedente. R Academy su CoddyKit è strutturato per principianti e studenti avanzati, quindi puoi iniziare da qui o dall'inizio e procedere al tuo ritmo. Questa è la lezione 3 di 4.
Quanto tempo richiede la lezione «Fondamenti della simulazione Monte Carlo»?
La maggior parte delle lezioni CoddyKit richiede circa 5–10 minuti. Ogni lezione è breve e interattiva, quindi fai progressi costanti e riprendi esattamente da dove hai lasciato su web e app.
Posso scrivere ed eseguire codice in questa lezione R Academy?
Sì. Ogni lezione R Academy include un editor di codice integrato, quindi scrivi ed esegui codice reale direttamente nel tuo browser e ricevi feedback istantaneo dall'IA — nessuna configurazione locale necessaria.
Tutte le lezioni di questo corso
- set.seed() e riproducibilità
- Generazione di distribuzioni casuali
- Fondamenti della simulazione Monte Carlo
- Ricampionamento bootstrap in R