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R Academy · 课时

蒙特卡洛模拟基础

通过重复随机抽样估计 pi 及其他量

蒙特卡洛模拟基础 是 CoddyKit 上的免费 R Academy 课时。 这是第 3 节课，共 4 节。 你可以在下方免费阅读本课时的完整内容 — 然后在浏览器中使用内置代码编辑器和全天候 AI 导师进行实践。 这是 R Academy 学习路径的一部分，你的进度在网页和 CoddyKit 应用中同步。 R Academy 课程共包含 4 节课。

什么是蒙特卡洛？

蒙特卡洛模拟通过反复随机抽样，估计难以用解析方法计算的量。它因摩纳哥的赌场而得名，应用于金融、物理学、统计学和人工智能中的积分、优化与推断。

# Core idea: approximate deterministic quantities
# using random sampling and the Law of Large Numbers

# Example: estimate probability that sum of two dice > 8
set.seed(42)
n <- 10000
die1 <- sample(1:6, n, replace = TRUE)
die2 <- sample(1:6, n, replace = TRUE)
total <- die1 + die2

# Monte Carlo estimate
mc_estimate <- mean(total > 8)
cat('MC estimate P(sum > 8):', mc_estimate, '\n')

# Exact probability
exact <- sum(outer(1:6, 1:6, '+') > 8) / 36
cat('Exact probability:', exact)

使用随机点估计 Pi

经典的蒙特卡洛演示：在单位正方形中随机放置点。落在单位圆内的点所占比例可以估计 π/4。当 n → ∞ 时，该估计值会收敛于 π。

set.seed(42)
n <- 100000

# Random points in [-1, 1] x [-1, 1] unit square
x <- runif(n, -1, 1)
y <- runif(n, -1, 1)

# Check if inside unit circle: x^2 + y^2 <= 1
inside <- (x^2 + y^2) <= 1

# Pi estimate: fraction inside * area of square
pi_estimate <- 4 * mean(inside)
cat('Pi estimate:', pi_estimate, '\n')
cat('True pi:', pi, '\n')
cat('Error:', abs(pi_estimate - pi))

估计期望值

蒙特卡洛积分：E[f(X)] ≈ (1/n) Σ f(Xᵢ)，其中 X₁,...,Xₙ 是独立同分布的抽样结果。对 g(x) 在 a 到 b 之间积分：从 Uniform(a,b) 中抽取 x，则 E[g(X)] ≈ (b-a) * mean(g(samples))。

set.seed(42)
# Estimate integral of sin(x) from 0 to pi
# Exact value = 2
n <- 50000
x_samples <- runif(n, min = 0, max = pi)
integrand_vals <- sin(x_samples)

# MC estimate = (b-a) * mean(f(x))
mc_integral <- pi * mean(integrand_vals)  # (pi - 0) * mean
cat('MC estimate of integral:', mc_integral, '\n')
cat('Exact value: 2\n')
cat('Error:', abs(mc_integral - 2), '\n')

# Standard error of the estimate
se <- pi * sd(integrand_vals) / sqrt(n)
cat('Standard error:', se)

replicate()：重复模拟

replicate(n, expr) 是 R 内置的函数，用于运行模拟 n 次并收集结果。对于简单模拟，它比 for 循环更简洁，并返回向量或矩阵。

set.seed(42)
# Simulate sample mean of 30 N(0,1) draws
# Repeat 10000 times to study sampling distribution
sample_means <- replicate(10000, {
  x <- rnorm(30)  # sample of 30
  mean(x)          # compute mean
})

# Central Limit Theorem: sample mean ~ N(0, 1/sqrt(30))
mean(sample_means)  # ~0
sd(sample_means)    # ~1/sqrt(30) = 0.183

# 95% CI width
diff(quantile(sample_means, c(0.025, 0.975)))

# Compare to theoretical
2 * 1.96 / sqrt(30)

大数定律演示

大数定律指出，随着 n 增大，样本均值会收敛于真实均值。在 R 中观察这一收敛过程，可以说明蒙特卡洛方法为何有效，以及估计值稳定得有多快。

set.seed(42)
# Rolling a fair die: true mean = 3.5
n_max <- 10000
rolls <- sample(1:6, n_max, replace = TRUE)
cumulative_means <- cumsum(rolls) / seq_along(rolls)

# Show convergence at different sample sizes
ns <- c(10, 100, 1000, 5000, 10000)
results <- data.frame(
  n = ns,
  mean = cumulative_means[ns],
  error = abs(cumulative_means[ns] - 3.5)
)
print(results)
# Error decreases as n increases

方差缩减：对偶变量

将均匀样本 u 与其补数 (1-u) 组成对偶变量对。二者的负相关性可以在函数计算次数不变的情况下，将估计量方差最多降低 50%。

set.seed(42)
n <- 1000

# Standard MC: estimate E[exp(U)] where U~Uniform(0,1)
# True value = e - 1 = 1.718282
u <- runif(n)
mc_std <- mean(exp(u))

# Antithetic variates: use u AND 1-u
u_anti <- runif(n/2)
mc_anti <- mean((exp(u_anti) + exp(1 - u_anti)) / 2)

cat('True value:', exp(1) - 1, '\n')
cat('Standard MC:', mc_std, '\n')
cat('Antithetic MC:', mc_anti, '\n')

# Variance comparison
var_std  <- var(exp(runif(10000)))
var_anti <- var((exp(runif(5000)) + exp(1 - runif(5000)))/2)
cat('Variance ratio (anti/std):', var_anti/var_std)

控制变量

控制变量是一个期望值已知且与目标量相关的函数。将其按一定比例减去，可以降低方差。经典做法是：使用均值已知且与 g(X) 相关的函数来估计 E[f(X)]。

set.seed(42)
n <- 5000

# Estimate E[exp(U)] where U~Uniform(0,1)
# True: e - 1 = 1.71828

# Control variate: g(U) = U, E[U] = 0.5
u <- runif(n)
f_vals <- exp(u)  # target
g_vals <- u       # control variate

# Optimal coefficient c = -Cov(f,g)/Var(g)
c_star <- -cov(f_vals, g_vals) / var(g_vals)

# Control variate estimator
mc_cv <- mean(f_vals + c_star * (g_vals - 0.5))

cat('Standard MC:', mean(f_vals), '\n')
cat('Control variate MC:', mc_cv, '\n')
cat('True value:', exp(1) - 1)

# Variance reduction factor
var(f_vals) / var(f_vals + c_star * (g_vals - 0.5))

使用蒙特卡洛估计概率

蒙特卡洛方法特别适合估计难以通过解析方法处理的复杂概率。多次模拟随机过程，并计算事件发生的次数占总次数的比例。

set.seed(123)
# Birthday problem: P(at least 2 people share birthday)
# in a group of n people

birtday_collision <- function(n_people) {
  birthdays <- sample(1:365, n_people, replace = TRUE)
  length(birthdays) != length(unique(birthdays))
}

# Estimate for groups of size 10, 23, 50
sizes <- c(10, 23, 50)
for (sz in sizes) {
  p <- mean(replicate(5000, birt_day_collision <- {
    bd <- sample(1:365, sz, replace = TRUE)
    length(bd) != length(unique(bd))
  }))
  cat('n =', sz, ': P(collision) ~', round(p, 3), '\n')
}

模拟几何布朗运动

股票价格通常使用几何布朗运动建模：S(t+dt) = S(t) * exp((μ - σ²/2)dt + σ√dt * Z)，其中 Z~N(0,1)。蒙特卡洛方法可以生成价格路径，用于期权定价。

set.seed(42)
S0 <- 100     # initial price
mu <- 0.05    # annual drift
sigma <- 0.2  # annual volatility
T <- 1        # 1 year
n_steps <- 252 # daily steps
dt <- T / n_steps

# Simulate one price path
Z <- rnorm(n_steps)
log_returns <- (mu - 0.5 * sigma^2) * dt + sigma * sqrt(dt) * Z
price_path <- S0 * exp(cumsum(log_returns))

cat('Final price:', round(price_path[n_steps], 2), '\n')
cat('Min price:', round(min(price_path), 2), '\n')
cat('Max price:', round(max(price_path), 2))

蒙特卡洛期权定价

使用蒙特卡洛方法为欧式看涨期权定价：模拟大量最终股票价格，计算收益 max(S_T - K, 0)，然后用 e^(-rT) 对平均收益进行折现。

set.seed(42)
S0 <- 100; K <- 105; r <- 0.05; sigma <- 0.2; T <- 1
n_sim <- 50000

# Final stock prices under risk-neutral measure
Z <- rnorm(n_sim)
ST <- S0 * exp((r - 0.5 * sigma^2) * T + sigma * sqrt(T) * Z)

# Call option payoff
payoff <- pmax(ST - K, 0)

# Discounted expected payoff
call_price <- exp(-r * T) * mean(payoff)
se <- exp(-r * T) * sd(payoff) / sqrt(n_sim)
cat('Call price:', round(call_price, 4), '\n')
cat('95% CI: [', round(call_price - 1.96*se, 4),
    ',', round(call_price + 1.96*se, 4), ']')

蒙特卡洛的收敛速率

蒙特卡洛方法以 O(1/√n) 的速率收敛：要将误差减半，需要增加 4 倍样本。蒙特卡洛估计值的标准误为 σ/√n，其中 σ 是被积函数的标准差。

set.seed(42)
# Demonstrate MC convergence for pi estimation
estimate_pi <- function(n) {
  x <- runif(n, -1, 1)
  y <- runif(n, -1, 1)
  4 * mean(x^2 + y^2 <= 1)
}

# Sample sizes: powers of 10
ns <- 10^(1:5)
estimates <- sapply(ns, function(n) {
  set.seed(42)
  estimate_pi(n)
})

data.frame(
  n = ns,
  pi_estimate = round(estimates, 5),
  error = round(abs(estimates - pi), 5)
)

快速检查

测试您对蒙特卡洛模拟基础知识的理解。

回顾：蒙特卡洛基础

要点：蒙特卡洛方法通过对大量随机样本取平均来估计各种量。使用 replicate() 进行重复模拟。大数定律保证收敛。误差按 1/√n 的比例缩放——将样本数增加 4 倍即可使误差减半。方差缩减技术（对偶变量、控制变量）无需增加样本即可提高效率。应用包括积分、概率估计、期权定价和模拟。

set.seed(42)
# Monte Carlo template:
# 1. Define simulation function
simulate_once <- function() {
  x <- runif(1, -1, 1)
  y <- runif(1, -1, 1)
  (x^2 + y^2) <= 1
}

# 2. Replicate many times
n <- 10000
results <- replicate(n, simulate_once())

# 3. Estimate quantity of interest
pi_mc <- 4 * mean(results)

# 4. Quantify uncertainty
se <- 4 * sd(results) / sqrt(n)
cat('Pi:', pi_mc, '+/-', round(1.96*se, 4))

常见问题解答

「蒙特卡洛模拟基础」课时是免费的吗？

是的 — 「蒙特卡洛模拟基础」的完整文本可在网页上免费阅读。要进行交互式练习（内置代码编辑器和全天候 AI 导师）并解锁 R Academy 课程的其余内容，请升级到 CoddyKit PRO。 R Academy 课程共包含 4 节课。

「蒙特卡洛模拟基础」这节课中我会学到什么？

通过重复随机抽样估计 pi 及其他量 你通过在浏览器中直接运行的动手代码来练习 R Academy，全天候 AI 导师会在你学习这节课的过程中回答你的问题。

学习 R Academy 需要有经验吗？

无需任何先前经验。CoddyKit 上的 R Academy 课程适合初学者到高级学习者，你可以从这里开始或从头开始，按照自己的节奏学习。 这是第 3 节课，共 4 节。

「蒙特卡洛模拟基础」课时需要多长时间？

大多数 CoddyKit 课程大约需要 5–10 分钟。每节课都很精短且互动，所以你能稳步进步，并在网页和应用中从离开的地方继续。

我能在这节 R Academy 课中编写并运行代码吗？

能。每节 R Academy 课都包含内置代码编辑器，你可以在浏览器中直接编写并运行真实代码，并获得即时 AI 反馈 — 无需本地设置。

此课程中的所有课时

  1. set.seed() 与可复现性
  2. 生成随机分布
  3. 蒙特卡洛模拟基础
  4. R 中的 Bootstrap 重抽样
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