0Pricing
Cryptology Academy · บทเรียน

พื้นฐานเลขคณิตมอดุลาร์

ทำความเข้าใจเลขคณิตแบบนาฬิกาและเหตุใดจึงเป็นหัวใจของวิทยาการเข้ารหัส

พื้นฐานเลขคณิตมอดุลาร์ เป็นบทเรียน Cryptology Academy ฟรีบน CoddyKit นี่คือบทเรียนที่ 2 จากทั้งหมด 4 บทเรียน คุณสามารถอ่านบทเรียนทั้งหมดด้านล่างฟรี — จากนั้นลองปฏิบัติด้วยตัวคุณเองในเบราว์เซอร์พร้อมตัวแก้ไขโค้ดในตัวและติวเตอร์ AI ตลอด 24/7 บทเรียนนี้เป็นส่วนหนึ่งของเส้นทางการเรียน Cryptology Academy และความก้าวหน้าของคุณจะซิงค์ข้ามเว็บและแอป CoddyKit คอร์ส Cryptology Academy มีบทเรียนทั้งหมด 4 บทเรียน

ยินดีต้อนรับ

เลขคณิตมอดุลาร์ ซึ่งบางครั้งเรียกว่า 'เลขคณิตแบบนาฬิกา' เป็นรากฐานทางคณิตศาสตร์ของ AES, RSA, Diffie-Hellman และรหัสลับสมัยใหม่เกือบทุกชนิด

โมดูโลคืออะไร

a mod m คือเศษที่เหลือเมื่อหาร a ด้วย m 17 mod 5 = 2 (เพราะ 17 = 3×5 + 2) ใน Python: 17 % 5 == 2

แนวคิดของเลขคณิตแบบนาฬิกา

บนนาฬิกาแบบ 12 ชั่วโมง 10 + 5 = 3 (ไม่ใช่ 15) นี่คือเลขคณิตมอดุลาร์ 12 เลขคณิตมอดุลาร์จะ 'วนกลับ' เมื่อถึงมอดูลัส ซึ่งตรงกับสิ่งที่เราต้องการสำหรับคณิตศาสตร์ของรหัสลับ

การบวกและการลบแบบมอดุลาร์

(a + b) mod m = ((a mod m) + (b mod m)) mod m ตัวอย่าง: (19 + 23) mod 7 = (5 + 2) mod 7 = 7 mod 7 = 0

การคูณแบบมอดุลาร์

(a × b) mod m = ((a mod m) × (b mod m)) mod m ตัวอย่าง: (13 × 17) mod 11 = (2 × 6) mod 11 = 12 mod 11 = 1

การยกกำลังแบบมอดุลาร์

RSA ใช้ a^b mod m สำหรับเลขชี้กำลังขนาดใหญ่ เราใช้วิธียกกำลังสองและคูณ: 2^10 mod 13: 2^2=4, 4^2=16≡3, 3^2=9, 9×2^2=9×4=36≡10. Python: pow(2, 10, 13) → 10

อินเวอร์สแบบมอดุลาร์

a^(-1) mod m คือค่า x ที่ทำให้ a×x ≡ 1 (mod m) ตัวอย่าง: 3^(-1) mod 7 = 5 เพราะ 3×5=15≡1 (mod 7) ใช้ในการถอดรหัส RSA และรหัส Affine

อัลกอริทึมยุคลิดแบบขยาย

อัลกอริทึมยุคลิดแบบขยายใช้คำนวณอินเวอร์สแบบมอดุลาร์ได้อย่างมีประสิทธิภาพ Python: pow(3, -1, 7) == 5 (Python 3.8+ รองรับเลขชี้กำลังติดลบใน pow)

ทฤษฎีบทเล็กของ Fermat

หาก p เป็นจำนวนเฉพาะ: a^p ≡ a (mod p) ดังนั้น a^(p-1) ≡ 1 (mod p) ซึ่งหมายความว่า a^(-1) ≡ a^(p-2) (mod p) ใช้ในการสร้างกุญแจ RSA และการทดสอบความเป็นจำนวนเฉพาะ

ทฤษฎีบทเศษเหลือของจีน (CRT)

CRT ช่วยให้แก้สมการมอดุลาร์หลายสมการพร้อมกันได้ การถอดรหัส RSA ใช้ CRT เพื่อเร่งการคำนวณ โดยทำงานแยกกันในมอดูลัส p และ q แล้วจึงรวมผลลัพธ์

เลขคณิตมอดุลาร์ใน AES

AES ทำงานใน GF(2^8) ซึ่งเป็นฟิลด์กาลัวส์ที่การบวกคือ XOR และการคูณใช้เลขคณิตพหุนามมอดุลาร์ด้วยพหุนามที่ลดรูปไม่ได้ เลขคณิตทั้งหมดใน AES เป็นแบบมอดุลาร์

ตรวจสอบความเข้าใจ

pow(2, 10, 7) ใน Python มีค่าเท่าใด

ทบทวน

คุณเชี่ยวชาญเลขคณิตมอดุลาร์แล้ว! ต่อไปเราจะศึกษาจำนวนเฉพาะ ว่าเหตุใดจึงมีคุณสมบัติพิเศษ และเหตุใดการแยกตัวประกอบจึงเป็นรากฐานของความปลอดภัยของ RSA

คำถามที่พบบ่อย

บทเรียน “พื้นฐานเลขคณิตมอดุลาร์” ฟรีหรือไม่

ใช่ — ข้อความเต็มของ “พื้นฐานเลขคณิตมอดุลาร์” ฟรีให้อ่านที่นี่บนเว็บ เพื่อปฏิบัติแบบโต้ตอบ (ตัวแก้ไขโค้ดในตัวและติวเตอร์ AI ตลอด 24/7) และปลดล็อคส่วนที่เหลือของคอร์ส Cryptology Academy ให้อัปเกรดเป็น CoddyKit PRO คอร์ส Cryptology Academy มีบทเรียนทั้งหมด 4 บทเรียน

คุณจะเรียนรู้อะไรในบทเรียน “พื้นฐานเลขคณิตมอดุลาร์”

ทำความเข้าใจเลขคณิตแบบนาฬิกาและเหตุใดจึงเป็นหัวใจของวิทยาการเข้ารหัส คุณปฏิบัติ Cryptology Academy ด้วยโค้ดที่ใช้งานได้จริงที่คุณเรียกใช้โดยตรงในเบราว์เซอร์ และติวเตอร์ AI ตลอด 24/7 ตอบคำถามของคุณขณะที่คุณไปผ่านบทเรียน

คุณต้องมีประสบการณ์ก่อนที่จะเริ่มเรียน Cryptology Academy หรือไม่

ไม่จำเป็นต้องมีประสบการณ์มาก่อน Cryptology Academy บน CoddyKit ออกแบบมาสำหรับผู้เริ่มต้นไปจนถึงผู้เรียนขั้นสูง คุณสามารถเริ่มต้นที่นี่หรือเริ่มจากตัวแรกและเรียนด้วยความเร็วของคุณเอง นี่คือบทเรียนที่ 2 จากทั้งหมด 4 บทเรียน

บทเรียน “พื้นฐานเลขคณิตมอดุลาร์” ใช้เวลานานแค่ไหน

บทเรียน CoddyKit ส่วนใหญ่ใช้เวลาประมาณ 5–10 นาที แต่ละบทเรียนจึงสั้นและเป็นแบบโต้ตอบ คุณสามารถก้าวหน้าอย่างต่อเนื่องและกลับมาเรียนต่อจากตรงที่เพิ่งหยุดบนเว็บและแอปได้เลย

ฉันเขียนและรันโค้ดในบทเรียน Cryptology Academy นี้ได้ไหม

ได้ บทเรียน Cryptology Academy ทุกบทมีตัวแก้ไขโค้ดในตัว คุณจึงเขียนและรันโค้ดจริงได้เลยในเบราว์เซอร์ และได้รับข้อเสนอแนะจาก AI ในทันที — ไม่ต้องติดตั้งในเครื่องของคุณ

บทเรียนทั้งหมดในหลักสูตรนี้

  1. พื้นฐานเลขฐานสองและเลขฐานสิบหก
  2. พื้นฐานเลขคณิตมอดุลาร์
  3. จำนวนเฉพาะและการแยกตัวประกอบ
  4. GCD ฟังก์ชันทอเทียนของออยเลอร์ และบทนำทฤษฎีจำนวน
← กลับไปที่ Cryptology Academy