R でのブートストラップ再標本化
復元抽出を行う sample() を使って、ブートストラップ信頼区間を実装します。
「R でのブートストラップ再標本化」はCoddyKit上の無料R Academyレッスンです。 これはレッスン4/4です。 下記で完全なレッスンを無料で読むことができます。その後、ブラウザ内の組み込みコードエディタと24時間対応のAIチューターでハンズオン演習できます。 これはR Academy学習パスの一部であり、ウェブとCoddyKitアプリ全体で進捗が同期されます。 R Academyコースには全4レッスンが含まれています。
Bootstrap法とは
Bootstrap法は、観測データから復元抽出を行い、統計量の標本分布を推定する再サンプリング手法です。分布に関する仮定を必要としません。データそのものを分布として扱います。
set.seed(42)
# Original sample of 20 observations
original_data <- c(14, 18, 11, 13, 6, 8, 2, 17,
20, 10, 15, 12, 9, 16, 7, 3,
19, 5, 4, 1)
n <- length(original_data)
# One bootstrap resample: sample WITH replacement
bootstrap_sample1 <- sample(original_data, n, replace = TRUE)
print(bootstrap_sample1)
# Contains repeats! Some original values are missing.
mean(original_data) # original mean
mean(bootstrap_sample1) # bootstrap mean (different)平均のBootstrap分布
Bootstrap標本を多数生成し、それぞれで統計量を計算して結果を集めます。このBootstrap分布は、統計量の標本分布を近似します。
set.seed(42)
x <- c(14, 18, 11, 13, 6, 8, 2, 17, 20, 10,
15, 12, 9, 16, 7, 3, 19, 5, 4, 1)
n <- length(x)
B <- 5000 # number of bootstrap replicates
# Bootstrap distribution of the mean
boot_means <- replicate(B, {
x_star <- sample(x, n, replace = TRUE)
mean(x_star)
})
cat('Original mean:', mean(x), '\n')
cat('Bootstrap mean:', mean(boot_means), '\n')
cat('Bootstrap SE:', sd(boot_means), '\n')
cat('Theoretical SE:', sd(x)/sqrt(n))任意の統計量へのBootstrap法の適用
Bootstrap法は、中央値、相関、回帰係数、トリム平均など、任意の統計量に適用できます。反復ループ内のmean()を、対象とする統計量に置き換えるだけです。
set.seed(42)
x <- c(2, 4, 6, 8, 10, 12, 100, 1, 3, 5)
# Notice the outlier 100 - makes the mean unreliable
B <- 5000; n <- length(x)
# Bootstrap distribution of the median
boot_medians <- replicate(B, {
median(sample(x, n, replace = TRUE))
})
# Bootstrap distribution of the trimmed mean (10%)
boot_tmeans <- replicate(B, {
mean(sample(x, n, replace = TRUE), trim = 0.1)
})
cat('Sample median:', median(x), '\n')
cat('Bootstrap SE of median:', sd(boot_medians), '\n')
cat('Bootstrap SE of trimmed mean:', sd(boot_tmeans))Bootstrap信頼区間：パーセンタイル法
最も単純なBootstrap信頼区間は、Bootstrap分布の分位点を取る方法です。95%信頼区間には2.5パーセンタイルと97.5パーセンタイルを使用します。素早く直感的ですが、歪んだ統計量では被覆率に問題が生じることがあります。
set.seed(42)
x <- rnorm(30, mean = 5, sd = 2)
B <- 5000; n <- length(x)
# Bootstrap CI for the mean
boot_means <- replicate(B, mean(sample(x, n, replace = TRUE)))
# Percentile CI
ci_percentile <- quantile(boot_means, c(0.025, 0.975))
cat('Percentile CI:', round(ci_percentile, 3), '\n')
# For comparison: t-interval (parametric)
t_ci <- mean(x) + qt(c(0.025, 0.975), df = n-1) * sd(x)/sqrt(n)
cat('t-interval CI:', round(t_ci, 3), '\n')
cat('True mean: 5')Bootstrap標準誤差
Bootstrap標準誤差は、単純にsd(boot_statistics)で計算できます。分布に関する仮定を置かずに、母集団から標本を繰り返し抽出したときに統計量がどの程度変動するかを推定します。
set.seed(42)
# Bootstrap SE for the ratio of two means
group_a <- rnorm(20, mean = 10, sd = 2)
group_b <- rnorm(20, mean = 8, sd = 2)
all_data <- data.frame(
value = c(group_a, group_b),
group = rep(c('A', 'B'), each = 20)
)
B <- 4000; n <- nrow(all_data)
boot_ratio <- replicate(B, {
idx <- sample(1:n, n, replace = TRUE)
d <- all_data[idx, ]
mean(d$value[d$group == 'A']) /
mean(d$value[d$group == 'B'])
})
cat('Observed ratio:', mean(group_a)/mean(group_b), '\n')
cat('Bootstrap SE:', round(sd(boot_ratio), 4), '\n')
cat('95% CI:', round(quantile(boot_ratio, c(.025,.975)), 3))BCa信頼区間
BCa（Bias-Corrected and Accelerated）信頼区間は、パーセンタイル信頼区間よりも正確です。特に、歪みのある統計量やバイアスを持つ統計量で有効です。Bootstrap分布のバイアスと歪度を調整します。
# BCa CI implementation
bca_ci <- function(data, stat_fn, B = 2000, alpha = 0.05) {
n <- length(data)
theta_hat <- stat_fn(data)
# Bootstrap replicates
boot_vals <- replicate(B, stat_fn(sample(data, n, replace = TRUE)))
# Bias correction z0
z0 <- qnorm(mean(boot_vals < theta_hat))
# Acceleration a (jackknife)
jk <- sapply(seq_len(n), function(i) stat_fn(data[-i]))
num <- sum((mean(jk) - jk)^3)
den <- 6 * (sum((mean(jk) - jk)^2))^(3/2)
a <- num / den
# Adjusted quantiles
z_alpha <- qnorm(c(alpha/2, 1 - alpha/2))
p_adj <- pnorm(z0 + (z0 + z_alpha) / (1 - a * (z0 + z_alpha)))
quantile(boot_vals, p_adj)
}
set.seed(42)
x <- rexp(25, rate = 0.5) # skewed distribution
bca_ci(x, median)回帰へのBootstrap法の適用
データフレームの行を再サンプリングすることで、回帰のBootstrap信頼区間を計算できます。これにより、誤差が正規分布に従わない場合にも対応でき、正規性を仮定せずに妥当な推論を行えます。
set.seed(42)
n <- 40
x <- runif(n, 0, 10)
y <- 2 + 1.5 * x + rnorm(n, sd = 2)
df <- data.frame(x = x, y = y)
B <- 3000
# Bootstrap the slope coefficient
boot_slopes <- replicate(B, {
idx <- sample(1:n, n, replace = TRUE)
d_boot <- df[idx, ]
coef(lm(y ~ x, data = d_boot))[2]
})
cat('OLS slope:', round(coef(lm(y~x, data=df))[2], 3), '\n')
cat('Bootstrap SE of slope:', round(sd(boot_slopes), 4), '\n')
cat('Bootstrap 95% CI:', round(quantile(boot_slopes, c(.025,.975)), 3))Bootstrap反復回数
Bootstrap反復はB回必要です。標準誤差にはB=200～500、パーセンタイル信頼区間にはB=1000～2000、BCa信頼区間にはB=2000～5000が目安です。回数を増やすほど一般に精度は向上しますが、10,000回を超えると効果は次第に小さくなります。
set.seed(42)
x <- rnorm(50, mean = 3, sd = 1)
B_values <- c(100, 500, 1000, 2000, 5000, 10000)
# See how CI width varies with B
results <- sapply(B_values, function(B) {
boot_m <- replicate(B, mean(sample(x, length(x), replace = TRUE)))
q <- quantile(boot_m, c(0.025, 0.975))
q[2] - q[1] # CI width
})
result_df <- data.frame(B = B_values, ci_width = round(results, 4))
print(result_df)
# CI width stabilizes as B increasesペアBootstrap
2標本問題では、xとyを独立に再サンプリングせず、ペア(x, y)を一緒に再サンプリングします。これによりペア内の依存構造が保たれ、相関や対応のある差について妥当な信頼区間が得られます。
set.seed(42)
# Paired data: before/after treatment
before <- c(10, 12, 8, 15, 11, 9, 14, 13)
after <- c(12, 14, 9, 16, 11, 10, 15, 12)
n <- length(before)
B <- 4000
# Bootstrap paired mean difference
boot_diff <- replicate(B, {
idx <- sample(1:n, n, replace = TRUE)
mean(after[idx] - before[idx])
})
observed_diff <- mean(after - before)
cat('Observed mean diff:', observed_diff, '\n')
cat('Bootstrap SE:', round(sd(boot_diff), 4), '\n')
cat('95% CI:', round(quantile(boot_diff, c(0.025, 0.975)), 3))Bootstrap仮説検定
Bootstrap法は仮説検定にも使用できます。H₀: θ=θ₀を検定するには、Bootstrap標本を移動または再中心化して帰無分布を生成し、観測された統計量を超える割合をp値として計算します。
set.seed(42)
# Test H0: mean = 0 vs H1: mean != 0
x <- rnorm(30, mean = 0.5, sd = 2)
theta0 <- 0 # null hypothesis
observed_t <- (mean(x) - theta0) / (sd(x) / sqrt(length(x)))
B <- 5000; n <- length(x)
# Shift x to have mean = theta0 under H0
x_centered <- x - mean(x) + theta0
boot_t <- replicate(B, {
x_star <- sample(x_centered, n, replace = TRUE)
(mean(x_star) - theta0) / (sd(x_star) / sqrt(n))
})
p_value <- mean(abs(boot_t) >= abs(observed_t))
cat('Observed t:', round(observed_t, 3), '\n')
cat('Bootstrap p-value:', round(p_value, 4))bootパッケージの概要
bootパッケージは、高度な機能を備えたboot(data, statistic, R)を提供します。機能には、boot.ci()によるBCa信頼区間、並列計算、層化サンプリングがあります。statistic関数は、データとインデックスベクトルを受け取ります。
# library(boot) # uncomment to use
# The boot() statistic function signature:
# statistic(data, indices) -> scalar or vector
# Example (conceptual - requires boot package):
# mean_stat <- function(data, indices) {
# mean(data[indices])
# }
# results <- boot(data = x, statistic = mean_stat, R = 5000)
# boot.ci(results, type = c('perc', 'bca')) # CIs
# plot(results) # histogram of bootstrap distribution
# Manual equivalent:
set.seed(42)
x <- rnorm(30, mean = 5)
B <- 2000
boot_vals <- replicate(B, mean(sample(x, length(x), replace = TRUE)))
quantile(boot_vals, c(0.025, 0.975))クイックチェック
RにおけるBootstrap再サンプリングについて、理解度を確認しましょう。
まとめ：Bootstrap再サンプリング
重要なポイント：Bootstrap法では、sample(x, n, replace=TRUE)を使って復元抽出でデータを再サンプリングします。replicate(B, ...)でB個のBootstrap統計量を生成します。sd(boot_stats)はBootstrap標準誤差を返します。パーセンタイル信頼区間はquantile(boot_stats, c(0.025, 0.975))で計算します。信頼区間にはB≥2000を使用してください。bootパッケージを使うと、BCa信頼区間や並列計算を利用できます。Bootstrap法は、分布に関する仮定なしに任意の統計量へ適用できます。
set.seed(42)
x <- c(3, 5, 7, 2, 9, 4, 6, 8, 1, 10)
n <- length(x); B <- 3000
# Generic bootstrap template:
boot_stat <- replicate(B, {
x_star <- sample(x, n, replace = TRUE)
median(x_star) # replace with any statistic
})
# Summary
cat('Original median:', median(x), '\n')
cat('Bootstrap SE:', round(sd(boot_stat), 3), '\n')
ci <- quantile(boot_stat, c(0.025, 0.975))
cat('95% Percentile CI: [', ci[1], ',', ci[2], ']')
AI チューターと学ぶ R — 無料
ブラウザでリアルコードを書いて実行し、24/7 の AI チューターから瞬時にサポートを受け、ウェブまたはアプリで続きから学習できます。
- コース
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よくある質問
「R でのブートストラップ再標本化」レッスンは無料ですか？
はい。「R でのブートストラップ再標本化」の完全なテキストはこのウェブで無料で読めます。インタラクティブに演習し（組み込みコードエディタと24時間対応のAIチューター）、R Academyコースの残りをアンロックするには、CoddyKit PROにアップグレードしてください。 R Academyコースには全4レッスンが含まれています。
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R Academyを始めるのに経験は必要ですか？
事前経験は必要ありません。CoddyKitのR Academyは初級者から上級者向けに構成されているため、ここから始めるか最初から始めて、自分のペースで進むことができます。 これはレッスン4/4です。
「R でのブートストラップ再標本化」レッスンにはどのくらい時間がかかりますか？
ほとんどのCoddyKitレッスンは約5～10分かかります。各レッスンはコンパクトでインタラクティブなので、着実に進歩し、ウェブとアプリ全体で正確に前回の場所から再開できます。
このR Academyレッスンでコードを書いて実行できますか？
はい。すべてのR Academyレッスンに組み込みコードエディタが含まれているため、ブラウザでリアルコードを書いて実行し、即座のAIフィードバックを取得できます。ローカル設定は不要です。
このコースのすべてのレッスン
- set.seed() と再現性
- 確率分布からの乱数生成
- モンテカルロシミュレーションの基礎
- R でのブートストラップ再標本化