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Cryptology Academy · पाठ

मॉड्यूलर अंकगणित की मूल बातें

घड़ी-अंकगणित और क्रिप्टोग्राफ़ी में इसके केंद्रीय महत्व को समझें

पाठ 2, कुल 4 में से13 चरण

मॉड्यूलर अंकगणित की मूल बातें, CoddyKit पर Cryptology Academy का एक निःशुल्क पाठ है। यह 4 में से 2वाँ पाठ है। आप नीचे पूरा पाठ निःशुल्क पढ़ सकते हैं—फिर अंतर्निहित कोड संपादक और 24/7 एआई ट्यूटर के साथ ब्राउज़र में इसका व्यावहारिक अभ्यास कर सकते हैं। यह Cryptology Academy सीखने के मार्ग का हिस्सा है और आपकी प्रगति वेब तथा CoddyKit ऐप पर सिंक होती रहती है। Cryptology Academy पाठ्यक्रम में कुल 4 पाठ शामिल हैं।

स्वागत है

मॉड्यूलर अंकगणित—जिसे कभी-कभी 'घड़ी की अंकगणित' कहा जाता है—AES, RSA, Diffie-Hellman और लगभग हर आधुनिक कूटलेख की गणितीय नींव है।

मॉड्यूलो क्या है?

a mod m का अर्थ है, a को m से विभाजित करने पर मिलने वाला शेषफल। 17 mod 5 = 2 (क्योंकि 17 = 3×5 + 2)। Python में: 17 % 5 == 2।

घड़ी की अंकगणित की सहज समझ

12 घंटे वाली घड़ी पर 10 + 5 = 3 होता है, 15 नहीं। यह mod 12 की अंकगणित है। मॉड्यूलर अंकगणित मॉड्यूलस पर 'चक्राकार रूप से वापस' आती है—कूटलेखन के गणित के लिए हमें ठीक यही चाहिए।

मॉड्यूलर जोड़ और घटाव

(a + b) mod m = ((a mod m) + (b mod m)) mod m उदाहरण: (19 + 23) mod 7 = (5 + 2) mod 7 = 7 mod 7 = 0

मॉड्यूलर गुणा

(a × b) mod m = ((a mod m) × (b mod m)) mod m उदाहरण: (13 × 17) mod 11 = (2 × 6) mod 11 = 12 mod 11 = 1

मॉड्यूलर घातांककरण

RSA में a^b mod m का उपयोग होता है। बड़ी घातों के लिए हम वर्ग-और-गुणा विधि का उपयोग करते हैं: 2^10 mod 13: 2^2=4, 4^2=16≡3, 3^2=9, 9×2^2=9×4=36≡10। Python: pow(2, 10, 13) → 10

मॉड्यूलर प्रतिलोम

a^(-1) mod m वह मान x है जिसके लिए a×x ≡ 1 (mod m)। उदाहरण: 3^(-1) mod 7 = 5, क्योंकि 3×5=15≡1 (mod 7)। इसका उपयोग RSA और Affine कूटलेख के कूट-वाचन में होता है।

विस्तारित यूक्लिडीय कलनविधि

विस्तारित यूक्लिडीय कलनविधि मॉड्यूलर प्रतिलोमों की कुशलता से गणना करती है। Python: pow(3, -1, 7) == 5 (Python 3.8+ में pow के साथ ऋणात्मक घातों का समर्थन है)।

फ़र्मा का लघु प्रमेय

यदि p अभाज्य है: a^p ≡ a (mod p), इसलिए a^(p-1) ≡ 1 (mod p)। इसका अर्थ है कि a^(-1) ≡ a^(p-2) (mod p)। इसका उपयोग RSA कुंजी निर्माण और अभाज्यता परीक्षणों में होता है।

चीनी शेषफल प्रमेय (CRT)

CRT से समकालिक मॉड्यूलर समीकरणों को हल किया जा सकता है। RSA कूट-वाचन में गणना तेज़ करने के लिए CRT का उपयोग होता है: p और q के मॉड्यूलो पर अलग-अलग काम करके परिणामों को जोड़ा जाता है।

AES में मॉड्यूलर अंकगणित

AES, GF(2^8) में काम करता है—यह एक गैल्वा क्षेत्र है जहाँ जोड़ XOR होता है और गुणा किसी अपरिवर्तनीय बहुपद के मॉड्यूलो पर बहुपद अंकगणित का उपयोग करता है। AES की सारी अंकगणित मॉड्यूलर होती है।

त्वरित जाँच

Python में pow(2, 10, 7) का मान क्या है?
इंटरैक्टिव पाठ में इसका उत्तर दें

पुनरावलोकन

मॉड्यूलर अंकगणित में आपने महारत हासिल कर ली है! अब हम अभाज्य संख्याओं का अध्ययन करेंगे—वे विशेष क्यों हैं और उनका गुणनखंडन RSA की सुरक्षा का आधार क्यों है।
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अपने ब्राउज़र में वास्तविक कोड लिखें और चलाएँ, चौबीसों घंटे एआई शिक्षक से तुरंत सहायता पाएँ, और वेब या ऐप पर वहीं से शुरू करें जहाँ आपने छोड़ा था।

पाठ्यक्रम
67
पाठ
261
निःशुल्क सीखना शुरू करेंपूरा पाठ्यक्रम देखें

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

क्या “मॉड्यूलर अंकगणित की मूल बातें” पाठ निःशुल्क है?

हाँ—“मॉड्यूलर अंकगणित की मूल बातें” का पूरा पाठ यहाँ वेब पर निःशुल्क पढ़ा जा सकता है। इंटरैक्टिव अभ्यास (अंतर्निहित कोड संपादक और 24/7 एआई ट्यूटर) करने और Cryptology Academy पाठ्यक्रम का बाकी हिस्सा अनलॉक करने के लिए CoddyKit PRO लें। Cryptology Academy पाठ्यक्रम में कुल 4 पाठ शामिल हैं।

“मॉड्यूलर अंकगणित की मूल बातें” में मैं क्या सीखूँगा?

घड़ी-अंकगणित और क्रिप्टोग्राफ़ी में इसके केंद्रीय महत्व को समझें आप ब्राउज़र में सीधे चलाए जाने वाले व्यावहारिक कोड के साथ Cryptology Academy का अभ्यास करते हैं, और पाठ पूरा करते समय 24/7 एआई ट्यूटर आपके प्रश्नों के उत्तर देता है।

क्या Cryptology Academy शुरू करने के लिए मुझे किसी अनुभव की आवश्यकता है?

पहले के अनुभव की आवश्यकता नहीं है। CoddyKit पर Cryptology Academy शुरुआती से लेकर उन्नत शिक्षार्थियों तक सभी के लिए व्यवस्थित किया गया है, इसलिए आप यहीं से या शुरुआत से सीखना शुरू कर सकते हैं और अपनी गति से आगे बढ़ सकते हैं। यह 4 में से 2वाँ पाठ है।

“मॉड्यूलर अंकगणित की मूल बातें” पाठ पूरा करने में कितना समय लगता है?

CoddyKit का अधिकांश पाठ लगभग 5–10 मिनट में पूरा हो जाता है। हर पाठ छोटा और संवादात्मक है, इसलिए आप लगातार प्रगति करते हैं और वेब या ऐप पर वहीं से सीखना जारी रख सकते हैं जहाँ आपने छोड़ा था।

क्या मैं इस Cryptology Academy पाठ में कोड लिख और चला सकता हूँ?

हाँ। हर Cryptology Academy पाठ में एक अंतर्निर्मित कोड संपादक शामिल है, जिससे आप सीधे अपने ब्राउज़र में वास्तविक कोड लिख और चला सकते हैं और तुरंत एआई प्रतिक्रिया पा सकते हैं—स्थानीय सेटअप की आवश्यकता नहीं है।

इस पाठ्यक्रम के सभी पाठ

  1. द्विआधारी और षोडशाधारी मूल बातें
  2. मॉड्यूलर अंकगणित की मूल बातें
  3. अभाज्य संख्याएँ और गुणनखंडन
  4. GCD, Euler का टोटिएंट और संख्या सिद्धांत का परिचय
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