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Cryptology Academy · पाठ

Elliptic curve समूह का नियम

Weierstrass curves पर बिंदुओं के जोड़ और doubling को दृश्य रूप में समझें।

पाठ 1, कुल 4 में से13 चरण

Elliptic curve समूह का नियम, CoddyKit पर Cryptology Academy का एक निःशुल्क पाठ है। यह 4 में से 1वाँ पाठ है। आप नीचे पूरा पाठ निःशुल्क पढ़ सकते हैं—फिर अंतर्निहित कोड संपादक और 24/7 एआई ट्यूटर के साथ ब्राउज़र में इसका व्यावहारिक अभ्यास कर सकते हैं। यह Cryptology Academy सीखने के मार्ग का हिस्सा है और आपकी प्रगति वेब तथा CoddyKit ऐप पर सिंक होती रहती है। Cryptology Academy पाठ्यक्रम में कुल 4 पाठ शामिल हैं।

स्वागत है

दीर्घवृत्तीय वक्र एक ऐसा गणितीय समूह प्रदान करते हैं जिसमें ‘असतत लघुगणक’ समस्या परिमित क्षेत्रों की तुलना में अधिक कठिन होती है। इससे समान सुरक्षा के लिए छोटी कुंजियों का उपयोग संभव होता है।

संक्षिप्त वियरस्ट्रास रूप

एक वियरस्ट्रास दीर्घवृत्तीय वक्र: y² = x³ + ax + b (mod p) शर्त: 4a³ + 27b² ≠ 0 (एकविकारी नहीं) इस समीकरण को संतुष्ट करने वाले सभी (x,y) बिंदुओं का समुच्चय और ‘अनंतता का एक बिंदु’ मिलकर एक समूह बनाते हैं।

P-256 वक्र प्राचल

NIST P-256 (secp256r1): p = 2^256 - 2^224 + 2^192 + 2^96 - 1 (अभाज्य) a = p-3 b = 41058363725152142129326129780047268409114441015993725554835256314039467401291 क्रम n ≈ 2^256 वाला आधार बिंदु G

बिंदु जोड़: दो अलग-अलग बिंदु

P + Q (P ≠ Q): 1. ढलान λ = (Qy - Py) / (Qx - Px) mod p 2. x3 = λ² - Px - Qx mod p 3. y3 = λ(Px - x3) - Py mod p 4. परिणाम: R = (x3, y3)

बिंदु दुगुना करना: P + P

P + P = 2P: 1. λ = (3Px² + a) / (2Py) mod p 2. x3 = λ² - 2Px mod p 3. y3 = λ(Px - x3) - Py mod p 4. भाग = मॉड्यूलर प्रतिलोम से गुणन

अनंत का बिंदु (तटस्थ अवयव)

‘अनंत का बिंदु’ O तटस्थ अवयव है: सभी P के लिए P + O = P। P को उसके प्रतिलोम -P = (x, -y) से जोड़ने पर O प्राप्त होता है। वक्र पर प्रत्येक बिंदु का एक प्रतिलोम होता है।

ज्यामितीय व्याख्या

बिंदु जोड़: P और Q से होकर एक रेखा खींचिए; वह वक्र को तीसरे बिंदु पर काटती है; x-अक्ष पर परावर्तित करने पर P+Q मिलता है। बिंदु दुगुना करना: P पर स्पर्शरेखा खींचिए; प्रतिच्छेद ज्ञात कीजिए; फिर परावर्तित कीजिए।

समूह का क्रम

समूह का क्रम |E|, O सहित वक्र पर स्थित बिंदुओं की संख्या है। Hasse का प्रमेय: |p+1-2√p| ≤ |E| ≤ p+1+2√p। P-256 के लिए, n ≈ 2^256 — उपसमूह संरचना वाला बहुत बड़ा समूह।

सहगुणक

सहगुणक h = |E| / n। P-256 के लिए: h=1 (आधार बिंदु पूरे समूह को उत्पन्न करता है)। Curve25519 के लिए: h=8। छोटा सहगुणक होने पर छोटे उपसमूह के हमले संभव हैं — X25519 में सहगुणक गुणन से इन्हें संभाला जाता है।

EC समूह विशेष क्यों हैं

Z*p समूहों में, सूचकांक-कलन कलनविधियाँ DLP को उप-घातांकीय समय में हल कर देती हैं। अभाज्य क्षेत्रों पर बने EC समूहों के लिए सामान्य वक्रों पर ऐसी कोई उप-घातांकीय कलनविधि ज्ञात नहीं है। इसी कारण 256-बिट EC ≈ 3072-बिट RSA के बराबर है।

बिंदु संपीड़न

एक EC बिंदु (x,y) को केवल x और समता के 1 बिट के रूप में संग्रहीत किया जा सकता है। y को पुनः प्राप्त करना: y² = x³+ax+b mod p → y = √(x³+ax+b) mod p। दो हल होते हैं — समता बिट सही हल चुनता है। इससे प्रेषण का आकार आधा हो जाता है।

त्वरित जाँच

दीर्घवृत्तीय वक्र समूह का तटस्थ अवयव क्या है?
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पुनरावलोकन

EC समूह नियम अब स्पष्ट है। अगले चरण में हम अदिश गुणन और ECDLP का अध्ययन करेंगे — वह कठिन समस्या जो ECDH और ECDSA को सुरक्षित बनाती है।
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अपने ब्राउज़र में वास्तविक कोड लिखें और चलाएँ, चौबीसों घंटे एआई शिक्षक से तुरंत सहायता पाएँ, और वेब या ऐप पर वहीं से शुरू करें जहाँ आपने छोड़ा था।

पाठ्यक्रम
67
पाठ
261
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अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

क्या “Elliptic curve समूह का नियम” पाठ निःशुल्क है?

हाँ—“Elliptic curve समूह का नियम” का पूरा पाठ यहाँ वेब पर निःशुल्क पढ़ा जा सकता है। इंटरैक्टिव अभ्यास (अंतर्निहित कोड संपादक और 24/7 एआई ट्यूटर) करने और Cryptology Academy पाठ्यक्रम का बाकी हिस्सा अनलॉक करने के लिए CoddyKit PRO लें। Cryptology Academy पाठ्यक्रम में कुल 4 पाठ शामिल हैं।

“Elliptic curve समूह का नियम” में मैं क्या सीखूँगा?

Weierstrass curves पर बिंदुओं के जोड़ और doubling को दृश्य रूप में समझें। आप ब्राउज़र में सीधे चलाए जाने वाले व्यावहारिक कोड के साथ Cryptology Academy का अभ्यास करते हैं, और पाठ पूरा करते समय 24/7 एआई ट्यूटर आपके प्रश्नों के उत्तर देता है।

क्या Cryptology Academy शुरू करने के लिए मुझे किसी अनुभव की आवश्यकता है?

पहले के अनुभव की आवश्यकता नहीं है। CoddyKit पर Cryptology Academy शुरुआती से लेकर उन्नत शिक्षार्थियों तक सभी के लिए व्यवस्थित किया गया है, इसलिए आप यहीं से या शुरुआत से सीखना शुरू कर सकते हैं और अपनी गति से आगे बढ़ सकते हैं। यह 4 में से 1वाँ पाठ है।

“Elliptic curve समूह का नियम” पाठ पूरा करने में कितना समय लगता है?

CoddyKit का अधिकांश पाठ लगभग 5–10 मिनट में पूरा हो जाता है। हर पाठ छोटा और संवादात्मक है, इसलिए आप लगातार प्रगति करते हैं और वेब या ऐप पर वहीं से सीखना जारी रख सकते हैं जहाँ आपने छोड़ा था।

क्या मैं इस Cryptology Academy पाठ में कोड लिख और चला सकता हूँ?

हाँ। हर Cryptology Academy पाठ में एक अंतर्निर्मित कोड संपादक शामिल है, जिससे आप सीधे अपने ब्राउज़र में वास्तविक कोड लिख और चला सकते हैं और तुरंत एआई प्रतिक्रिया पा सकते हैं—स्थानीय सेटअप की आवश्यकता नहीं है।

इस पाठ्यक्रम के सभी पाठ

  1. Elliptic curve समूह का नियम
  2. Scalar multiplication और ECDLP
  3. मानक curves: P-256, Curve25519, secp256k1
  4. ECC बनाम RSA: सुरक्षा और प्रदर्शन का संतुलन
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