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Lei de grupo das curvas elípticas

Visualize a adição e a duplicação de pontos em curvas de Weierstrass.

Aula 1 de 413 etapas

Lei de grupo das curvas elípticas é uma aula grátis de Cryptology Academy no CoddyKit. Esta é a aula 1 de 4. Você pode ler a aula completa abaixo gratuitamente — depois pratica ao vivo no navegador com um editor de código integrado e um tutor de IA 24/7. Faz parte do caminho de aprendizado de Cryptology Academy, e seu progresso é sincronizado entre a web e o app CoddyKit. O curso de Cryptology Academy inclui 4 aulas no total.

Boas-vindas

As curvas elípticas fornecem um grupo matemático no qual o problema do “logaritmo discreto” é mais difícil do que em corpos finitos. Isso permite usar chaves menores com segurança equivalente.

Forma curta de Weierstrass

Uma curva elíptica de Weierstrass: y² = x³ + ax + b (mod p) Condição: 4a³ + 27b² ≠ 0 (não singular) O conjunto de todos os pares (x,y) que satisfazem essa equação, junto com um “ponto no infinito”, forma um grupo.

Parâmetros da curva P-256

NIST P-256 (secp256r1): p = 2^256 - 2^224 + 2^192 + 2^96 - 1 (primo) a = p-3 b = 41058363725152142129326129780047268409114441015993725554835256314039467401291 Ponto base G com ordem n ≈ 2^256

Adição de pontos: dois pontos diferentes

P + Q (P ≠ Q): 1. inclinação λ = (Qy - Py) / (Qx - Px) mod p 2. x3 = λ² - Px - Qx mod p 3. y3 = λ(Px - x3) - Py mod p 4. Resultado: R = (x3, y3)

Duplicação de ponto: P + P

P + P = 2P: 1. λ = (3Px² + a) / (2Py) mod p 2. x3 = λ² - 2Px mod p 3. y3 = λ(Px - x3) - Py mod p 4. Divisão = multiplicação pelo inverso modular

Ponto no infinito (elemento identidade)

O «ponto no infinito» O é o elemento identidade: P + O = P para todo P. Adicionar P ao seu inverso -P = (x, -y) resulta em O. Todo ponto da curva tem um inverso.

Interpretação geométrica

Adição de pontos: trace uma reta passando por P e Q; ela intersecta a curva em um terceiro ponto; reflita-o em relação ao eixo x = P+Q. Duplicação de ponto: trace a tangente em P; encontre a interseção; reflita-a.

Ordem do grupo

A ordem do grupo |E| é o número de pontos da curva, incluindo O. O teorema de Hasse: |p+1-2√p| ≤ |E| ≤ p+1+2√p. Para P-256, n ≈ 2^256 — um grupo enorme com estrutura de subgrupos.

Cofator

Cofator h = |E| / n. Para P-256: h=1 (o ponto base gera o grupo inteiro). Para Curve25519: h=8. Um cofator pequeno permite ataques contra subgrupos pequenos — tratados pela multiplicação pelo cofator em X25519.

Por que os grupos EC são especiais

Em grupos Z*p, os algoritmos de cálculo de índices quebram o DLP em tempo subexponencial. Para grupos EC sobre corpos primos, não se conhece nenhum algoritmo subexponencial para curvas genéricas. Por isso, EC de 256 bits ≈ RSA de 3072 bits.

Compressão de pontos

Um ponto EC (x,y) pode ser armazenado apenas como x + 1 bit de paridade. Para recuperar y: y² = x³+ax+b mod p → y = √(x³+ax+b) mod p. Há duas soluções — o bit de paridade seleciona a correta. Isso reduz pela metade o tamanho da transmissão.

Verificação rápida

Qual é o elemento identidade do grupo da curva elíptica?

Responda na aula interativa

Recapitulação

A lei de grupo EC está clara. Em seguida, estudaremos a multiplicação escalar e o ECDLP — o problema difícil que protege ECDH e ECDSA.

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Perguntas Frequentes

A aula “Lei de grupo das curvas elípticas” é grátis?

Sim — o texto completo de “Lei de grupo das curvas elípticas” é grátis para ler aqui na web. Para praticá-la interativamente (um editor de código integrado e um tutor de IA 24/7) e desbloquear o restante do curso de Cryptology Academy, atualize para CoddyKit PRO. O curso de Cryptology Academy inclui 4 aulas no total.

O que vou aprender em “Lei de grupo das curvas elípticas”?

Visualize a adição e a duplicação de pontos em curvas de Weierstrass. Você pratica Cryptology Academy com código prático que executa diretamente no navegador, e um tutor de IA 24/7 responde suas dúvidas enquanto trabalha na aula.

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Quanto tempo leva a aula “Lei de grupo das curvas elípticas”?

A maioria das aulas CoddyKit leva cerca de 5–10 minutos. Cada uma é compacta e interativa, então você faz progresso constante e retoma exatamente de onde parou entre web e app.

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