Cryptology Academy · Lección

Ley de grupo de las curvas elípticas

Visualice la suma y el doblado de puntos en curvas de Weierstrass.

Lección 1 de 413 pasos

Ley de grupo de las curvas elípticas es una lección gratuita de Cryptology Academy en CoddyKit. Esta es la lección 1 de 4. Puedes leer la lección completa abajo gratuitamente — luego la practicas en el navegador con un editor de código integrado y un tutor de IA 24/7. Forma parte de la ruta de aprendizaje de Cryptology Academy, y tu progreso se sincroniza en la web y la app de CoddyKit. El curso de Cryptology Academy incluye 4 lecciones en total.

Bienvenida

Las curvas elípticas proporcionan un grupo matemático en el que el problema del «logaritmo discreto» es más difícil que en los cuerpos finitos. Esto permite utilizar claves más pequeñas con un nivel de seguridad equivalente.

Forma corta de Weierstrass

Una curva elíptica de Weierstrass: y² = x³ + ax + b (mod p) Condición: 4a³ + 27b² ≠ 0 (no singular) El conjunto de todos los (x,y) que satisfacen esta ecuación, junto con un «punto en el infinito», forma un grupo.

Parámetros de la curva P-256

NIST P-256 (secp256r1): p = 2^256 - 2^224 + 2^192 + 2^96 - 1 (primo) a = p-3 b = 41058363725152142129326129780047268409114441015993725554835256314039467401291 Punto base G de orden n ≈ 2^256

Suma de puntos: dos puntos distintos

P + Q (P ≠ Q): 1. pendiente λ = (Qy - Py) / (Qx - Px) mod p 2. x3 = λ² - Px - Qx mod p 3. y3 = λ(Px - x3) - Py mod p 4. Resultado: R = (x3, y3)

Doblado de puntos: P + P

P + P = 2P: 1. λ = (3Px² + a) / (2Py) mod p 2. x3 = λ² - 2Px mod p 3. y3 = λ(Px - x3) - Py mod p 4. La división equivale a multiplicar por el inverso modular

Punto en el infinito (identidad)

El «punto en el infinito» O es el elemento identidad: P + O = P para todo P. Al sumar P con su inverso -P = (x, -y), se obtiene O. Todo punto de la curva tiene un inverso.

Interpretación geométrica

Suma de puntos: trace una recta que pase por P y Q; esta intersecta la curva en un tercer punto; refléjelo sobre el eje x para obtener P+Q. Doblado de puntos: trace la tangente en P; encuentre la intersección y refléjela.

Orden del grupo

El orden del grupo |E| es el número de puntos de la curva, incluido O. El teorema de Hasse establece: |p+1-2√p| ≤ |E| ≤ p+1+2√p. Para P-256, n ≈ 2^256: un grupo enorme con estructura de subgrupos.

Cofactor

Cofactor h = |E| / n. Para P-256: h=1 (el punto base genera el grupo completo). Para Curve25519: h=8. Un cofactor pequeño permite ataques contra subgrupos pequeños, que X25519 gestiona mediante la multiplicación por el cofactor.

Por qué los grupos EC son especiales

En los grupos Z*p, los algoritmos de cálculo de índices resuelven el DLP en tiempo subexponencial. Para grupos EC sobre cuerpos primos, no se conoce ningún algoritmo subexponencial para curvas genéricas. Por eso una EC de 256 bits ofrece una seguridad aproximadamente equivalente a RSA de 3072 bits.

Compresión de puntos

Un punto EC (x,y) puede almacenarse únicamente como x + 1 bit de paridad. Para recuperar y: y² = x³+ax+b mod p → y = √(x³+ax+b) mod p. Hay dos soluciones; el bit de paridad selecciona la correcta. Esto reduce a la mitad el tamaño de la transmisión.

Comprobación rápida

¿Cuál es el elemento identidad del grupo de la curva elíptica?

Responde en la lección interactiva

Resumen

La ley de grupo EC ya está clara. A continuación estudiaremos la multiplicación escalar y el ECDLP, el problema difícil que protege ECDH y ECDSA.

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Preguntas frecuentes

¿La lección «Ley de grupo de las curvas elípticas» es gratis?

Sí — el texto completo de «Ley de grupo de las curvas elípticas» es gratis para leer aquí en la web. Para practicarla de forma interactiva (editor de código integrado y tutor de IA 24/7) y desbloquear el resto del curso de Cryptology Academy, actualiza a CoddyKit PRO. El curso de Cryptology Academy incluye 4 lecciones en total.

¿Qué aprenderé en «Ley de grupo de las curvas elípticas»?

Visualice la suma y el doblado de puntos en curvas de Weierstrass. Practicas Cryptology Academy con código real que ejecutas directamente en el navegador, y un tutor de IA 24/7 responde tus preguntas mientras trabajas en la lección.

¿Necesito experiencia previa para empezar Cryptology Academy?

No se requiere experiencia previa. Cryptology Academy en CoddyKit está estructurado para principiantes hasta estudiantes avanzados, así que puedes empezar aquí o desde el inicio y avanzar a tu ritmo. Esta es la lección 1 de 4.

¿Cuánto tiempo toma la lección «Ley de grupo de las curvas elípticas»?

La mayoría de las lecciones de CoddyKit toman alrededor de 5–10 minutos. Cada una es compacta e interactiva, así que avanzas constantemente y retomas exactamente por donde dejaste en la web y la app.

¿Puedo escribir y ejecutar código en esta lección de Cryptology Academy?

Sí. Cada lección de Cryptology Academy incluye un editor de código integrado, así que escribes y ejecutas código real directamente en tu navegador y obtienes retroalimentación instantánea de IA — sin configuración local necesaria.

Todas las lecciones de este curso

Ley de grupo de las curvas elípticas
Multiplicación escalar y ECDLP
Curvas estándar: P-256, Curve25519 y secp256k1
ECC frente a RSA: compromisos entre seguridad y rendimiento

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