0Pricing
Cryptology Academy · درس

الأعداد الأولية والتحليل إلى عوامل

تعلّموا سبب كون الأعداد الأولية أساس تشفير المفتاح العام

الأعداد الأولية والتحليل إلى عوامل درس مجاني في Cryptology Academy على CoddyKit. هذا هو الدرس 3 من أصل 4. يمكنك قراءة الدرس كاملاً أدناه مجاناً — ثم تمرن عليه مباشرة في المتصفح باستخدام محرر أكواد مدمج ومدرس ذكاء اصطناعي متاح 24/7. هذا الدرس جزء من مسار التعلم في Cryptology Academy، وتقدمك يتزامن عبر الويب وتطبيق CoddyKit. تتضمن دورة Cryptology Academy 4 دروس في المجموع.

مرحبًا

لا تقبل القسمة على الأعداد الأولية إلا على 1 وعلى نفسها. إنها ذرات الضرب، وأساس RSA وDiffie-Hellman والعديد من أنظمة التشفير الأخرى.

التعريف والأمثلة

الأعداد الأولية: 2 و3 و5 و7 و11 و13 و17 و19 و23 و29 ... يكون العدد أوليًا إذا كان قواسِمه الموجبة الوحيدة هي 1 ونفسه. والعدد 1 ليس أوليًا وفق التعريف المتعارف عليه.

النظرية الأساسية في الحساب

يمكن تحليل كل عدد صحيح أكبر من 1 إلى أعداد أولية بطريقة واحدة تمامًا (بغض النظر عن الترتيب). ‏60 = 2² × 3 × 5. وهذا التفرد هو ما يجعل التشفير القائم على التحليل إلى عوامل ممكنًا.

القسمة التجريبية

def is_prime(n): if n < 2: return False for i in range(2, int(n**0.5)+1): if n % i == 0: return False return True لا نحتاج إلى التحقق إلا حتى √n؛ فإذا لم نعثر على عامل أصغر من √n، فإن n عدد أولي.

غربال إراتوستينس

للعثور على جميع الأعداد الأولية حتى N: ابدأ بقائمة الأعداد من 2 إلى N. اشطب مضاعفات 2، ثم 3، ثم 5، وهكذا. تكون الأعداد المتبقية أولية. وتعمل الخوارزمية في O(N log log N).

اختبار الأولية: Miller-Rabin

بالنسبة إلى الأعداد الكبيرة (2048 بِتًا)، تكون القسمة التجريبية بطيئة جدًا. أما Miller-Rabin فهو اختبار احتمالي: شغّله 40 مرة، فتصبح احتمالية الخطأ < 4^(-40).

تحليل الأعداد الصحيحة إلى عوامل

بالنظر إلى n = p × q، فإن العثور على p وq هو مسألة تحليل الأعداد الصحيحة إلى عوامل. وإذا كان n بطول 2048 بِتًا، فإن أفضل الخوارزميات المعروفة تتطلب 2^112 عملية، وهو أمر غير عملي حاليًا.

لماذا يستخدم RSA عددين أوليين كبيرين؟

معامل RSA هو n = p × q. إن معرفة n دون p وq تجعل حساب المفتاح الخاص صعبًا. ويعتمد الأمان بالكامل على صعوبة تحليل n إلى عوامله.

إنشاء أعداد أولية كبيرة

from sympy import randprime p = randprime(2**1023, 2**1024) # random 1024-bit prime الطريقة: أنشئ عددًا فرديًا عشوائيًا، واختبره باستخدام Miller-Rabin، وكرّر العملية حتى يكون العدد أوليًا.

الأعداد الأولية الآمنة والقوية

العدد الأولي الآمن هو p = 2q+1، حيث يكون q أوليًا أيضًا. تقاوم الأعداد الأولية الآمنة بعض الهجمات على DH. ويستخدم RSA أحيانًا أعدادًا أولية قوية لمنع هجوم Pollard's p-1.

الفجوات بين الأعداد الأولية ولا نهائيتها

أثبت إقليدس عام 300 قبل الميلاد أن عدد الأعداد الأولية لا نهائي. ولا تزال حدسية التوأم الأولي، التي تفترض وجود عددين أوليين p وp+2 بلا نهاية، غير مثبتة. ولن تنفد الأعداد الأولية اللازمة للتشفير.

تحقق سريع

لماذا يستخدم RSA أعدادًا أولية كبيرة؟

مراجعة

لقد فهمت الأعداد الأولية والتحليل إلى عوامل. سنطبّق بعد ذلك دالة أويلر φ والقاسم المشترك الأكبر، وهما آخر الأدوات الرياضية اللازمة قبل دراسة RSA.

الأسئلة الشائعة

هل درس «الأعداد الأولية والتحليل إلى عوامل» مجاني؟

نعم — نص درس «الأعداد الأولية والتحليل إلى عوامل» كامل متاح مجاناً هنا على الويب. لتمرينه بشكل تفاعلي (محرر أكواد مدمج ومدرس ذكاء اصطناعي متاح 24/7) وفتح باقي دورة Cryptology Academy، انتقل إلى CoddyKit PRO. تتضمن دورة Cryptology Academy 4 دروس في المجموع.

ماذا ستتعلم في «الأعداد الأولية والتحليل إلى عوامل»؟

تعلّموا سبب كون الأعداد الأولية أساس تشفير المفتاح العام تتمرن على Cryptology Academy مع أكواد عملية تشغلها مباشرة في المتصفح، ومدرس ذكاء اصطناعي متاح 24/7 يجيب على أسئلتك أثناء عملك.

هل أحتاج إلى خبرة سابقة لأبدأ Cryptology Academy؟

لا تُشترط خبرة سابقة. Cryptology Academy على CoddyKit منظم للمبتدئين حتى المتقدمين، لذا يمكنك البدء من هنا أو من البداية والتقدم بسرعتك الخاصة. هذا هو الدرس 3 من أصل 4.

كم من الوقت يستغرق درس «الأعداد الأولية والتحليل إلى عوامل»؟

معظم دروس CoddyKit تستغرق حوالي 5–10 دقائق. كل منها موجز وتفاعلي، لذا تحرز تقدماً مستمراً وتستأنف من حيث توقفت عبر الويب والتطبيق.

هل يمكنني كتابة وتشغيل أكواد في درس Cryptology Academy هذا؟

نعم. كل درس في Cryptology Academy يتضمن محرر أكواد مدمج، لذا تكتب وتشغل أكواداً حقيقية مباشرة في متصفحك وتحصل على تعليقات فورية من الذكاء الاصطناعي — بدون إعداد محلي.

جميع الدروس في هذه الدورة

  1. أساسيات النظامين الثنائي والسداسي عشري
  2. أساسيات الحساب المعياري
  3. الأعداد الأولية والتحليل إلى عوامل
  4. ‏GCD ودالة أويلر للأعداد الصحيحة ومقدمة في نظرية الأعداد
← العودة إلى Cryptology Academy