PricingLoginStart free
Cryptology Academy · درس

‏GCD ودالة أويلر للأعداد الصحيحة ومقدمة في نظرية الأعداد

طبّقوا GCD ودالة أويلر للأعداد الصحيحة على مسائل تشفير واقعية

الدرس 4 من 413 خطوة

‏GCD ودالة أويلر للأعداد الصحيحة ومقدمة في نظرية الأعداد درس مجاني في Cryptology Academy على CoddyKit. هذا هو الدرس 4 من أصل 4. يمكنك قراءة الدرس كاملاً أدناه مجاناً — ثم تمرن عليه مباشرة في المتصفح باستخدام محرر أكواد مدمج ومدرس ذكاء اصطناعي متاح 24/7. هذا الدرس جزء من مسار التعلم في Cryptology Academy، وتقدمك يتزامن عبر الويب وتطبيق CoddyKit. تتضمن دورة Cryptology Academy 4 دروس في المجموع.

مرحبًا

يُعد القاسم المشترك الأكبر ودالة أويلر φ أداتين أساسيتين في RSA والعديد من أنظمة المفتاح العام الأخرى. لنتقنهما من خلال الأمثلة.

القاسم المشترك الأكبر (GCD)

يمثل GCD(a, b) أكبر عدد صحيح يقسم كلاً من a وb دون باقٍ. ‏GCD(12, 8) = 4. وإذا كان GCD(a, m) = 1، نقول إن a وm أوليان فيما بينهما.

خوارزمية إقليدس

GCD(a, b) = GCD(b, a mod b)، والحالة الأساسية هي GCD(a, 0) = a. GCD(48, 18): = GCD(18, 12) = GCD(12, 6) = GCD(6, 0) = 6 Python: import math; math.gcd(48, 18) → 6

خوارزمية إقليدس الممتدة

تجد النسخة الممتدة عددين صحيحين x وy يحققان ax + by = GCD(a,b). وعندما يكون GCD(a,m)=1، يكون x هو المعكوس المعياري لـ a بترديد m. هكذا يحسب RSA المفاتيح الخاصة.

دالة أويلر φ(n)

تحسب φ(n) الأعداد الصحيحة من 1 إلى n التي تكون أولية فيما بينها وبين n. ‏φ(10) = 4 لأن {1, 3, 7, 9} أولية فيما بينها وبين 10. وφ(p) = p-1 لأي عدد أولي p.

دالة أويلر لحاصل ضرب

في RSA: ‏n = p×q، حيث p وq أوليان. ‏φ(n) = φ(p)×φ(q) = (p-1)(q-1). مثال: ‏p=5 وq=11: ‏φ(55) = 4×10 = 40. ولهذا يؤدي تحليل n إلى عوامله إلى كسر RSA، لأنه يكشف φ(n).

نظرية أويلر

إذا كان GCD(a,n)=1: فإن a^φ(n) ≡ 1 (mod n). وهذا هو الأساس الرياضي لفك تشفير RSA: ‏M = C^d mod n لأن e×d ≡ 1 (mod φ(n)).

حساب d في RSA

اختر e = 65537، وهو أس عام شائع في RSA. احسب d = e^(-1) mod φ(n) باستخدام خوارزمية إقليدس الممتدة. وتحقّق من أن e×d mod φ(n) == 1.

دالة أويلر في Python

def totient(n): from math import gcd return sum(1 for i in range(1, n+1) if gcd(i, n) == 1) # Fast for n=p*q: def rsa_totient(p, q): return (p-1)*(q-1)

دالة كارمايكل λ

يستخدم RSA الحديث دالة كارمايكل λ(n) = lcm(p-1, q-1) بدلًا من φ(n). وهي تعطي ترديدًا أصغر مكافئًا. وتوصي PKCS#1 v2 وNIST باستخدام λ(n).

ملخص التطبيق العملي

GCD: للتحقق من أولية e فيما بينه وبين φ(n). خوارزمية إقليدس الممتدة: لحساب المفتاح الخاص d. دالة أويلر: لتحديد مجموعة الأسس المستخدمة في الرفع إلى قوة معيارية. وتُستخدم الأدوات الثلاث في كل عملية إنشاء لمفتاح RSA.

تحقق سريع

في RSA حيث p=7 وq=11، ما قيمة φ(n)؟
أجب عليها في الدرس التفاعلي

مراجعة

ممتاز! أصبحت أدوات GCD وخوارزمية إقليدس ودالة أويلر للتويتنت جزءًا من مجموعة أدواتك. سننتقل بعد ذلك إلى دراسة XOR والعمليات على مستوى البِتّات، وهي اللبنات الأساسية للشفرات المتماثلة.
البدء مجانًا

تعلم Cryptology Academy مع معلم ذكاء اصطناعي — مجانًا

اكتب وقم بتشغيل أكوادك الفعلية في المتصفح، واحصل على مساعدة فورية من معلم ذكاء اصطناعي متاح 24/7، واستمر من حيث توقفت على الويب أو في التطبيق.

الدورات
67
الدروس
261
ابدأ التعلم مجانًاعرض الدورة الكاملة

الأسئلة الشائعة

هل درس «‏GCD ودالة أويلر للأعداد الصحيحة ومقدمة في نظرية الأعداد» مجاني؟

نعم — نص درس «‏GCD ودالة أويلر للأعداد الصحيحة ومقدمة في نظرية الأعداد» كامل متاح مجاناً هنا على الويب. لتمرينه بشكل تفاعلي (محرر أكواد مدمج ومدرس ذكاء اصطناعي متاح 24/7) وفتح باقي دورة Cryptology Academy، انتقل إلى CoddyKit PRO. تتضمن دورة Cryptology Academy 4 دروس في المجموع.

ماذا ستتعلم في «‏GCD ودالة أويلر للأعداد الصحيحة ومقدمة في نظرية الأعداد»؟

طبّقوا GCD ودالة أويلر للأعداد الصحيحة على مسائل تشفير واقعية تتمرن على Cryptology Academy مع أكواد عملية تشغلها مباشرة في المتصفح، ومدرس ذكاء اصطناعي متاح 24/7 يجيب على أسئلتك أثناء عملك.

هل أحتاج إلى خبرة سابقة لأبدأ Cryptology Academy؟

لا تُشترط خبرة سابقة. Cryptology Academy على CoddyKit منظم للمبتدئين حتى المتقدمين، لذا يمكنك البدء من هنا أو من البداية والتقدم بسرعتك الخاصة. هذا هو الدرس 4 من أصل 4.

كم من الوقت يستغرق درس «‏GCD ودالة أويلر للأعداد الصحيحة ومقدمة في نظرية الأعداد»؟

معظم دروس CoddyKit تستغرق حوالي 5–10 دقائق. كل منها موجز وتفاعلي، لذا تحرز تقدماً مستمراً وتستأنف من حيث توقفت عبر الويب والتطبيق.

هل يمكنني كتابة وتشغيل أكواد في درس Cryptology Academy هذا؟

نعم. كل درس في Cryptology Academy يتضمن محرر أكواد مدمج، لذا تكتب وتشغل أكواداً حقيقية مباشرة في متصفحك وتحصل على تعليقات فورية من الذكاء الاصطناعي — بدون إعداد محلي.

جميع الدروس في هذه الدورة

  1. أساسيات النظامين الثنائي والسداسي عشري
  2. أساسيات الحساب المعياري
  3. الأعداد الأولية والتحليل إلى عوامل
  4. ‏GCD ودالة أويلر للأعداد الصحيحة ومقدمة في نظرية الأعداد
← العودة إلى Cryptology Academy